Απορίες παλιών θεμάτων Γραμμική Άλγεβρα

Διδάσκοντες: Χ. Σχοινάς, Επ. Καθηγητής

Απορίες παλιών θεμάτων Γραμμική Άλγεβρα

Δημοσίευσηαπό MNO » 31 Ιαν 2010, 15:41

Εχω κολλησει σε μερικες απλες ασκησεις στην γραμμικη αλγεβρα, αν μπορει κανεις να βοηθησει :)

1)Να δοθεί ένα παράδειγμα ενός 2 χ 2 πίνακα και του αντιστρόφου του. - Πως βρισκω εναν? ενοω πρεπει να ακολουθησω καποια μεθοδο ή μαθαινω απεξω ενα παραδειγμα? γιατι κατι σχετικο στο βιβλιο δεν βρήκα.

2)Θεωρούμε τα διανύσματα α=(1,-1,1) και β=(1,0,1) του R^3. Βρείτε άλλο ένα διάνυσμα του R^3 , τέτοιο ώστε μαζί με τα διανύσματα α και β να
αποδεικνύεται ότι θα αποτελούν μία βάση του διανυσματικού χώρου R^3. - ειναι το διανυσμα (1,0,0) αλλα πως βγαινει?

3)Αναφέρετε ένα παράδειγμα ερμιτιανού κι ένα παράδειγμα αντιερμιτιανού 2×2 πίνακα. - Ιδια απορια με το 1)
Τελευταία επεξεργασία από megatron και 31 Ιαν 2010, 19:50, έχει επεξεργασθεί 1 φορά/ες συνολικά
Αιτία: Σαφέστερος τίτλος
MNO
Sr. Member
 
Δημοσιεύσεις: 408
Εγγραφή: 11 Μάιος 2008, 20:45
Φοιτητής ΗΜΜΥ: Ναι

Re: Μερικες αποριες απο παλια θεματα

Δημοσίευσηαπό Alexander » 31 Ιαν 2010, 17:15

Αν πάρεις το βοήθημα του Γκαρούτσου "Μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας" θα δου λυθούν όλες οι απορίες(αλλά απ'ότι βλέπω είναι πλέον αργά καθώς αύριο είναι η εξέταση). Εμένα προσωπικά με βοήθησε πολύ. Τώρα δεν ξέρω ποιό είναι το βιβλίο που δίνουν πλέον στους πρωτοετείς φοιτητές, αλλά αυτό κάνει τη δουλειά του στην περίπτωσή μας. Αν μπορείς να το βρεις από κάποιον θα σε βολέψει. Από κει και πέρα, για να βρείς τον αντίστροφο οποιουδήποτε πίνακα θα πρέπει να βρεις με βάσει την θεωρία αν υπάρχει αντίστροφος, και έπειτα αφού υπάρχει βρίσκεις το συμπλήρωμα του πίνακα προς την ορίζουσα του πίνακα που είναι ουσιαστικά καθαρός αριθμός. Έτσι απλά. Όμως, υπάρχουν κι άλλες μέθοδοι, που μερικές θα τις μάθετε πιο μετά. Πάντως πρέπει να μαθεις την λογική ώστε να λύνεις τέτοιου είδους προβλήματα κι όχι απ'έξω ένα παραδειγμα.
Υπάρχουν και παλιά θέματα στο site του προηγούμενου καθηγητή που τα περισσότερα είναι λυμένα. Τα άλλα δυο ερωτήματα δε τα θυμάμαι για να σου απαντήσω(έχουν περάσει 3 χρόνια από τότε που τα διάβασα).
Ψάξε και στο ιντερνέτ. Τα πάντα σχεδόν έχει και πολύ πιστεύω θα σε βοηθήσει πολύ, τουλάχιστον στις ερωτήσεις που έχεις.
Άβαταρ μέλους
Alexander
Full Member
 
Δημοσιεύσεις: 136
Εγγραφή: 01 Οκτ 2008, 17:19
Φοιτητής ΗΜΜΥ: Ναι

Re: Μερικες αποριες απο παλια θεματα

Δημοσίευσηαπό Seitjo90 » 31 Ιαν 2010, 17:22

MNO έγραψε:1)Να δοθεί ένα παράδειγμα ενός 2 χ 2 πίνακα και του αντιστρόφου του. - Πως βρισκω εναν? ενοω πρεπει να ακολουθησω καποια μεθοδο ή μαθαινω απεξω ενα παραδειγμα? γιατι κατι σχετικο στο βιβλιο δεν βρήκα.


εάν ο πίνακας σου είναι ο $\[A=\begin{bmatrix}
a &b \\
c & d
\end{bmatrix}\]$

τότε ο αντίστροφός σου θα είναι της μορφής
$\[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}\]$
αρκεί φυσικά να είναι $\[det(A)\neq 0\]$ (η ορίζουσα του Α να ειναι διάφορη του μηδενός για να έχει αντίστροφο ο Α)

MNO έγραψε:2)Θεωρούμε τα διανύσματα α=(1,-1,1) και β=(1,0,1) του R^3. Βρείτε άλλο ένα διάνυσμα του R^3 , τέτοιο ώστε μαζί με τα διανύσματα α και β να
αποδεικνύεται ότι θα αποτελούν μία βάση του διανυσματικού χώρου R^3. - ειναι το διανυσμα (1,0,0) αλλα πως βγαινει?


δεν θυμάμαι πως βγαίνει ακριβώς. Μπορώ να σου πω μόνο τη θεωρία:
εάν έχουμε ένα σύνολο διανυσμάτων {χ1,χ2,χ3,...,χn} ενός διανυσματικού χώρου V,τότε αυτά θα αποτελοούν βάση του V αν τα διανύσματα αυτά είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα μεταξύ τους και παράγουν το V.
ένα σύνολο διανυσμάτων {χ1,χ2,χ3,...,χn} ενός διανυσματικού χώρου V λέμε ότι παράγει το V αν κάθε άλλο διάνυσμα χ που ανηκει στο V μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδιασμός των {χ1,χ2,χ3,...,χn}
Some people want it to happen, some wish it would happen, and others make it happen - Michael Jordan
Άβαταρ μέλους
Seitjo90
Γενικός Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 1983
Εγγραφή: 10 Νοέμ 2008, 19:24
Τοποθεσία: Dublin, Ireland
Φοιτητής ΗΜΜΥ: Όχι

Δημοσίευσηαπό Stokos » 31 Ιαν 2010, 18:53

Βασικά η άσκηση έχει άπειρες λύσεις και σου ζητάει να βρεις μόνο μια. Όπως είπε ο Γιάννης τα διανύσματα για να είναι βάση του |R³ πρέπει αρκεί να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε επέλεξε ένα διάνυσμα στη "τύχη" (έστω (1,0,0) όπως προτείνει η λύση) και κάνε τον έλεγχο...

Για να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα θα πρέπει να ισχύει: $\lambda_1v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n = 0_V$ μόνον για κάθε λ = 0 και για καμία άλλη τιμή.

Για τη συγκεκριμένη περίπτωση:
$\lambda_1(1,-1,1) + \lambda_2 (1,0,1) + \lambda_3 (1,0,0) = (0,0,0)$ από όπου προκύπτει το σύστημα:
$(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3, -\lambda_1, \lambda_1 + \lambda_2) = (0,0,0)$

ή

$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 =0$ (1)
$-\lambda_1=0$ (2)
$\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ (3)

(2) => λ1 = 0
(3) => λ2 = 0
(1) => λ3 = 0

Άρα και γραμμικώς ανεξάρτητα. Μερικές άλλες από τις (άπειρες) απαντήσεις: (n,0,0), (n,0,n), (0,0,n) με n E |R
Stokos
 

Re:

Δημοσίευσηαπό MNO » 31 Ιαν 2010, 19:14

Stokos έγραψε:Βασικά η άσκηση έχει άπειρες λύσεις και σου ζητάει να βρεις μόνο μια, οπότε επέλεξε ένα διάνυσμα στη "τύχη" (έστω (1,0,0) όπως προτείνει η λύση) και κάνε τον έλεγχο...


ευχαριστω! αυτο ηθελα να μαθω :)
MNO
Sr. Member
 
Δημοσιεύσεις: 408
Εγγραφή: 11 Μάιος 2008, 20:45
Φοιτητής ΗΜΜΥ: Ναι

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες