Lipschitz Condition

Διδάσκοντες: Γ. Γραββάνης, Αν.Καθηγητής (Συντονιστής), Δ. Γεωργίου, Αν. Καθηγητής

Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό LoVaBiLL » 11 Δεκ 2009, 19:02

Πως ακριβώς βρίσκουμε την ισχύ (ή μη) της συνθήκης Lipschitz στην συνάρτηση y’=-y^2 , y(0)=1?
Άβαταρ μέλους
LoVaBiLL
Hero Member
 
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: 16 Ιαν 2008, 01:18

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό iakovos » 12 Δεκ 2009, 16:38

Αν εχω μια ανω φραγμενη παραγωγισιμη συναρτηση τοτε αυτη ειναι Lipschitz (αυτο προκυπτει απο το Θ.Μ.Τ.), και στη συγκεκριμενη ειναι: $\frac {\partial f} {\partial y}=-2y$, οποτε αν εχω ορισει την f στο ορθογωνιο $0\leq x \leq1 , 0\leq y \leq1$ τοτε προκυπτει: $\frac {\partial f} {\partial y}=-2y \Rightarrow | \frac {\partial f} {\partial y}|=|-2y| \leq2$ , συνεπως η f ειναι Lipschitz με σταθερα Lipschitz k=2

Δες και εδω http://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity : Lipschitz continuity of functions on the real line is closely related to differentiability. An everywhere differentiable function g : R → R is Lipschitz continuous (with K = sup |g′(x)|) if and only if it has bounded first derivative; one direction follows from the mean value theorem. In particular, any C1 function is locally Lipschitz, as continuous functions on a locally compact space are locally bounded.
Άβαταρ μέλους
iakovos
Newbie
 
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: 28 Νοέμ 2008, 01:20

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό LoVaBiLL » 12 Δεκ 2009, 18:36

Μπορείς να μου πεις μία συνάρτηση που δεν έχει σταθερά κ? (Του τύπου f(x,y))
Άβαταρ μέλους
LoVaBiLL
Hero Member
 
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: 16 Ιαν 2008, 01:18

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό iakovos » 12 Δεκ 2009, 19:18

Ουσιαστικα ρωτας για το 3ο ερωτημα απο την 7η εργασια, ετσι; Αν έχω $f(x,y)=\sqrt{y}$ και υποθέσω ότι ειναι Lipschitz , δηλ. $|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq L|y_1-y_2|$, τοτε για $y_1=\frac{1}{n^2} , y_2=0$ με n φυσικο καταληγω πως $n \leq L$, ατοπο.
Άβαταρ μέλους
iakovos
Newbie
 
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: 28 Νοέμ 2008, 01:20

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό LoVaBiLL » 12 Δεκ 2009, 20:29

Χμ... Καταλαβαίνω τι πήγες να κάνεις απλώς κάπου έχω μία ασυνέχεια συνειρμού διότι το y είναι ουσιαστικά y(x)...Δηλαδή δεν είναι ανεξάρτητες μεταβλητές συνάρτησης πολλών μεταβλητών αλλά κάτι περίεργο. F(x,y(x)).... πχ άμα η y(x)=2x^2 γίνεται F(x,2x^2) και θέτεις 2χ^2=C τοτε και το x θα είναι χ=(0,5C)^(1/2) όπου C εσύ έβαλες φυσικό αριθμό n. Αλλάζει ουσιαστικά η συνάρτηση μας σε F(g(C),C)! Κάνω κάπου λάθος;...

Το ερώτημα μου είναι το άμεσο ερώτημα της εργασίας που λες αλλά είναι και κριτήριο εφαρμογής της μεθόδους Adams-Bashforth (εργασία 8 ).

Άλλος τρόπος εκτός της εις άτοπον απαγωγής υπάρχει; (Το σκαλίζω πολύ,ε;....Να περνάει η ώρα...Τι να κάνεις με τόσο κρύο.)
Άβαταρ μέλους
LoVaBiLL
Hero Member
 
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: 16 Ιαν 2008, 01:18

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό iakovos » 12 Δεκ 2009, 21:16

Όντως, δεν ειναι συναρτηση ανεξαρτητων μεταβλητων αφου η Δ.Ε. ειναι μορφης $\frac{dy}{dx}=f(x,y), y=y(x)$. Σ αυτο που θετεις 2χ^2=C τι ακριβως προσπαθεις να δειξεις, ομως; Δεν καταλαβαινω το συνειρμο σου... Σ αυτο το παραδειγμα που εγραψα η f δεν οριζεται μονο στους φυσικους, απλα αν επιλεξω καταλληλο φυσικο προκυπτει πιο ευκολα αυτο που θελω να δειξω (οτι δεν ειναι Lipschitz δλδ). Δες και εδω : http://www.maths.sussex.ac.uk/Staff/OL/ ... /HO-03.pdf στο παραδειγμα 3.7 , κανει κατι αντιστοιχο.
Άβαταρ μέλους
iakovos
Newbie
 
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: 28 Νοέμ 2008, 01:20

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό LoVaBiLL » 12 Δεκ 2009, 21:52

Σωστός... Ξέρεις που κόλλησα; Και δώσε μου άμα θέλεις την εξήγησή σου. Κάνε το ίδιο για την f(x,y)=x*y^2. Κάπου εκεί με τα χ και την ανισότητα το χάνω...

Anyway. Με κάλυψες για την εργασία (μιας και όλες οι συναρτήσεις μας δεν περιέχουν την μεταβλητή χ πουθενά...). Ευχαριστώ.
Άβαταρ μέλους
LoVaBiLL
Hero Member
 
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: 16 Ιαν 2008, 01:18

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό iakovos » 12 Δεκ 2009, 22:11

Κάνε το ίδιο για την f(x,y)=x*y^2. Κάπου εκεί με τα χ και την ανισότητα το χάνω...


Προσεξε φιλε: Οπως σου ειπα αν εχεις μια f παραγωγισιμη και ανω φραγμενη τοτε αυτη ειναι Lipschitz. Οποτε εδω εχουμε $\frac{\partial f}{\partial y}=2xy$. Οποτε αναλογα με το ορθογωνιο μεσα στο οποιο θα ορισεις την f θα εχεις και την αντιστοιχη σταθερα Lipschitz. Οποτε αν θεωρησεις οτι π.χ. $0 \leq x \leq1, 2 \leq x \leq4$ τοτε η f ειναι Lipschitz με σταθερα L=2*1*4=8 . Ελπιζω να βοηθησα... :)
Άβαταρ μέλους
iakovos
Newbie
 
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: 28 Νοέμ 2008, 01:20

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό pez » 10 Ιαν 2010, 14:26

- Σας παρακαλώ, μπορείτε να μου πείτε αν έληξε η προθεσμία παράδοσης της εργασίας y' = -y^2, y(0) = 1, καθότι επιθυμούμε να συνεχίσουμε την δημόσια διερεύνηση του πολύ ενδιαφέροντος αυτού ζητήματος: "Με αφορμή την [Lipschitz Condition]"; - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος
-
pez
 

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό LoVaBiLL » 11 Ιαν 2010, 01:49

pez έγραψε:- Σας παρακαλώ, μπορείτε να μου πείτε αν έληξε η προθεσμία παράδοσης της εργασίας y' = -y^2, y(0) = 1, καθότι επιθυμούμε να συνεχίσουμε την δημόσια διερεύνηση του πολύ ενδιαφέροντος αυτού ζητήματος: "Με αφορμή την [Lipschitz Condition]"; - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος
-


Η προθεσμία που εμπεριείχε το κριτήριο αυτό έληξε, αλλά εγώ κύριε καθηγητή την απορία την έκανα γενικότερα. Οπότε δε τίθεται ζήτημα προθεσμίας. :)
Άβαταρ μέλους
LoVaBiLL
Hero Member
 
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: 16 Ιαν 2008, 01:18

Re: Lipschitz Condition

Δημοσίευσηαπό pez » 11 Ιαν 2010, 23:11

- Ευχαριστώ -
pez
 

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες