Δυναμικό ηλεκτροστατικού πεδίου & πυκνότητα ρ

[dimka]

καλημέρα,
για ένα ηλεκτροστατικό πεδίο με δυναμικό V (x,y,z) = a(20 -10x -6y +3z) για χ <= 0 (a = σταθερά) θέλω να υπολογίσω την πυκνότητα ρ (C/m^3).

Στις σημειώσεις (3.3) που κοίταξα βρήκα μόνο τον τύπο dq = σ * ds. Τα dq, ds πως τα υπολογίζουμε ;
'Η μήπως κοιτάω σε λάθος τύπο ;

[Stokos]

Αρχικά βρίσκεις το E από τη σχέση Ε=-gradV και στη συνέχεια από το πρώτο νόμο του Gauss σε διαφορική μορφή παίρνεις: divE=p/${e_0}$ και λύνεις ως προς p.

ΕDIT: Η απάντηση μπορεί να προκύψει και άμεσα χωρίς τον ενδιάμεσο υπολογισμό της έντασης με την εξίσωση Poison δηλ. Λαπλασιανή του V = -p/${e_0}$

[dimka]

ευχαριστώ για την απάντηση Stokos,

αρχικά υπολογίζω το Ε και μετά το divE, ωστόσο όμως μένουν μερικοί άγνωστοι ... το α που είναι σταθερός όρος και το e0

[Stokos]

Δεν είναι άγνωστοι απλά η κατανομή δεν είναι ομοιογενής δηλαδή είναι διαφορετική σε κάθε τμήμα του όγκου αυτού δηλ. εξαρτάται από το πια θέση (αλλού πιο πυκνή και αλλού πιο αραιή).

π.χ. στη θέση 0,0,0 έχεις p=-115a$e_0$ (αρνητικό φορτίο δηλ.) ενώ στην θέση 0,0,1 έχεις $e_0$(-115a+4)

Edit: Έχεις κάνει λάθος στη παραγώγιση... όταν παραγωγίζεις π.χ. το 3y ως προς χ πέρνεις 0... Πάντως γενικά αν σου βγεί πάλι p(x,y,z) μη παραξενευτείς...

[dimka]

οκ Στόκος διορθώνω ...

νομίζω μέχρι εδώ σωστά έτσι ;

για το divE όμως πως θα παραγωγίσουμε αφού έχουμε μόνο τους σταθερούς όρους 10α , 6α , 3α και τους διανυσματικούς ;;;

[Stokos]

Τι εννοείς πως θα παραγωγίσεις? Παράγωγος σταθερού μεγέθους ίσο με μηδέν.

Εξάλλου εφαρμόζοντας το 2ο τρόπο, δηλ. Λαπλασιανή του V έχουμε:

solution.doc

(16.5 KiB) Έχει μεταφορτωθεί 591 φορές

Άρα κάποιο λάκο έχει η φάβα... Καταλήγω στο ότι p=0... Το πρώτο που μου ήρθε στο μυαλό είναι αυτό το πεδίο να μην υπάρχει αλλά αφού είναι αστρόβιλο (rotE=0) τότε γίνεται να υπάρξει... Γιατί αντιστοιχεί όμως σε πυκνότητα φορτίου 0 δε μπορώ να το καταλάβω... Αν το βρω θα σου πω (θα το ψάξω αναλυτικά από προσωπικό, πλέον, ενδιαφέρον).

EDIT: Κινούμαστε με το γνώμονα ότι οι εξισώσεις αυτές ισχύουν πάντα και το δυναμικό αντιστοιχεί σε ένα ηλεκτροστατικό πεδίο που μπορεί να υπάρξει, πράγμα το οποίο ειπώνεται ξεκάθαρα σε όλα τα θεωρητικά συγγράμματα των πεδίων (Kraus, Griffith κτλ).

[dimka]

μου φάνηκε παράξενο divE = 0 και κόλησα ... ουσιαστικά ρ=0. Αν και είχα την λύση δεν έδωσα σημασία ρ=0 τέλος!