από nuovo » 23 Φεβ 2009, 23:47
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n\left (\frac{(2a-1)^m}{2}+\frac{1}{2} \right )=$
$\frac{1}{2}( \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n (2a-1)^m + \lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{n}{n} ))=$
$\frac{1}{2} \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n (2a-1)^m + 1\right)=$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n (2a-1)^m +\frac{1}{2}=$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n k^m +\frac{1}{2}=$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{k}{n}\frac{k^n-1}{k-1} +\frac{1}{2}=$
$\frac{k}{k-1} \left [ \left (\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{k^n}{n} \right ) -\left (\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n} \right ) \right ] + \frac{1}{2}=$
$\frac{k}{k-1} \left [ \left ( 0 \right ) - \left ( 0 \right ) \right ] + \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
με $k=2a-1, \left |k \right |<1$
Σημείωση: Προφανώς, ισχύει-> $|\frac{k^n}{n} | < |k^n|$ άρα $\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{k^n}{n} = 0$, διότι $\left |k \right |<1$
Τελευταία επεξεργασία από
nuovo και 23 Φεβ 2009, 23:57, έχει επεξεργασθεί 1 φορά/ες συνολικά