Επειδή γενικά δε "κυκλοφορούν" θέματα στο μάθημα είπα να κάνω μια αρχή. Δυστυχώς δε θυμάμαι καθόλου τα νούμερα και τις συναρτήσεις που δίνονταν, οπότε θα περιγράψω το τρόπο λύσης με σύμβολα. Αν κάποιος τυγχάνει να θυμάται κάτι από όσα λείπουν αν με συμπληρώσει.
---
θα υιοθετήσω τους εξής συμβολισμούς:
* Πίνακας: συμβολισμός με υπογεγραμμένη μεταβλητή και κεφαλαίο γράμμα (π.χ. Α)
* Διάνυσμα: συμβολισμός με bold μεταβλητή και μικρό γράμμα (π.χ. a)
1ο Θέμα [4 μονάδες]
Εκφώνηση
Δίνεται σύστημα το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση:
x' = A$\cdot$x + b$\cdot$u(t)
Επίσης δίνονται τα Α (Πίνακας 2x2, δε θυμάμαι νούμερα) και b = $\left( \begin{array}{ccc}1\\0\\\end{array} \right)$
Για είσοδο είσοδο της μορφής u(t)=[$k_1$,$k_2]\cdot$x να βρεθούν οι τιμές των $k_1$,$k_2$ για τα οποία το σύστημα θα είναι ευσταθές.
Λύση
Αντικαθιστούμε το u(t) στην εξίσωση x' = Ax + bu(t), εκτελούμε το πολ/μό των πινάκων b και [$k_1$,$k_2$] και στη συνέχεια την άθροιση του Α και του αποτελέσματος του ανωτέρου γινομένου, οπότε καταλήγουμε στη μορφή:
x' = A*$\cdot$x
Στη συνέχεια υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος από τη σχέση: p(s) = det(A* - s$I_3$) <=> $p(s) = \left|\begin{array}{ccc}a-s & b & c \\d & e-s & f \\g & h & i-s \end{array} \right|$ = $a_2$s² + $a_1$s + $a_0$
Όπου a,b,...,i και $a_i$ υπολογίζονται εκτελώντας τις πράξεις (δε θυμάμαι τα νούμερα) και "περιέχουν" μέσα και τις παραμέτρους $k_1,k_2$
Για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο εφαρμόζουμε το κριτήριο του Routh
s2| $a_2$ $a_0$
s1| $a_1$ 0
s0| $b_1$
Με $b_1 = -\frac{\left|\begin{array}{ccc}a_2 & a_0 \\ a_1 & 0 \end{array} \right|}{a_1}$
Για να είναι ευσταθές πρέπει: $a_2>0 \wedge a_1>0 \wedge b_1>0$ απ'όπου προκύπτουν τα διαστήματα για τα $k_1$ και $k_2$ στα οποία το σύστημα είναι ευσταθές.
2ο Θέμα [3 μονάδες]
Εκφώνηση
Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου του συστήματος G(s)F(s) = Κ $\cdot \frac{...}{...}$ (δε θυμάμαι τα πολυώνυμα του αριθμητή και του παρονομαστή)
α) Να βρείτε τις τιμές του K για το οποίο το σύστημα είναι ευσταθές.
β) Να βρείτε το περιθώριο ενίσχυσης $K_g$ για K=1 και Κ=2. Τι σχέση έχει το περιθώριο ενίσχυσης με την ευστάθεια του συστήματος.
Λύση
α)Κατασκευάζοντας πρόχειρα το διάγραμμα Nyquist (όπως το παράδειγμα τις σελ.286-287 του Τόμου Α και τις λυμένες ασκήσεις του Τόμου Β στο αντίστοιχο κεφάλαιο), βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση είναι πιθανών να περικλείει το κρίσιμο σημείο (-1,0) για s=jω με ω να κινείται -οο έως +οο.
Οπότε: G(jω)F(jω) = ... = x + jy
Η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των πραγματικών για y=0 από όπου υπολογίζουμε την $\omega_{critical}= \omega_c$ (Απορρίπτουμε τη τιμή ±οο).
Επιπλέον για να είναι ευσταθές πρέπει x($\omega_c)$ > -1. Λύνοντας την ανισότητα ως προς K βρίσκουμε το διάστημα στο οποίο θα είναι ευσταθές.
β) Το περιθώριο ενίσχυσης δίνεται από το τύπο $K_g$ = -20log|G(j$\omega_c$)F((j$\omega_c$)|. Με απλή αντικατάσταση του $\omega_c$ και των Κ=1 και 2 τα υπολογίζουμε.
Απάντηση στη θεωρητική ερώτηση είναι ότι η φυσική σημασία του περιθωρίου ενίσχυσης $K_g$ είναι το ποσό σε db κατά το οποίο μπορούμε να αυξήσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς βρόχου μέσω του K προτού το σύστημα μεταπέσει σε αστάθεια. Δηλαδή, όσο πιο μεγάλο είναι το $K_g$ τόσο πιο ευσταθές είναι το κλειστό σύστημα. Το περιθώριο ενίσχυσης λοιπόν σχετίζεται με τη σχετική ευστάθεια του συστήματος.
3ο Θέμα [3 μονάδες]
Εκφώνηση
Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)F(s) = $K\frac{s-3}{(s-1)(s-2.5)^2}$ (νομίζω). Να κατασκευαστεί ο Γεωμετρικός Τόπος των Ριζών για K > 0
Λύση
Ακολουθούμε τα 10 βήματα που περιγράφονται αναλυτικότατα στο βιβλίο. Χρειάζεται όμως ιδιαίτερη προσοχή γιατί στο παρονομαστή εμφανιζόταν διπλή ρίζα (διπλός πόλος).
Τα βήματα τα οποία θέλουν ιδιαίτερη προσοχή είναι τα:
3 - Τη διπλή ρίζα τη μετράμε 2 φορές για να βάλουμε το n
4 - Ομοίως με 3
5 - Στο άθροισμα βάζουμε τη διπλή ρίζα 2 φορές
6 - Τη διπλή ρίζα τη μετράμε 2 φορές
8 - βλέπε σελ. 340 τόμου Α.
Αν θυμάμαι καλά ο γ.τ.ρ. έβγαινε ως εξής: