Αν θέλει κάποιος μπορεί να κάνει post τα θεματα της ομάδας Α για να σας βοηθήσω.
ΕΚΦΩΝΗΣΗ:
http://img504.imageshack.us/my.php?imag ... 008fy0.jpg
Θέμα Ι
Πρόκειται για δ.ε. Bernulli, κάνουμε την αντικατάσταση y=u^(1/(1-2))=u^(-1) => dy/dx = -u^(-2)u' και καταλήγουμε σε γραμμική δ.ε. πρώτης τάξης [μορφή: u' + P(x)u = Q(x)]την οποία μπορούμε να επιλύσουμε με τους εξής τρόπους:
i) Ολοκληρώνων παράγωντας (βλ. τυπολόγιο)
ii) Με τον απευθειας τύπο: u = [c + S(Q(x)*e^(S\P(x)dx)dx]*e^(-SP(x)dx όπου S το σύμβολο της αόριστης ολοκλήρωσης
iii) Ως το άθροισμα της λύσης της ομογενούς γρ. δ.ε. u'+P(x)u=0 (χωριζομένων μετ.) + μια μερική λύση της πλήρους δ.ε. που βρίσκεται με τη μέθοδο μεταβολής των σταθερών.
Δυσκολία: 1/5
Θέμα ΙΙ
α) θεωρούμε την αντίστοιχη ομογενή δ.ε. (x-2)y'' - (4x-7)y' + (4x-6)y = 0 για την οποία γνωρίζουμε μερική λύση y1 άρα θα κάνουμε την αντικατάσταση y=u*y1 (u = u(x)), y' = u'*y1 + u*y1', y''=u''*y1 + u'*y1' + u*y1'. Με αντικατάσταση στη δ.ε. θα καταλήξουμε σε μορφή P(x)u'' + Q(x) u' = 0 (ΠΡΟΣΟΧΗ: πρέπει ο συντελεστής του u να είναι υποχρεωτικά μηδέν, ωστε να μπορούμε να υποβιβάσουμε την τάξη, αν σας βγήκε διάφορος του μηδενός έχετε κάνει λάθος).
Θέτω u' = p και λύνω την δ.ε. ως προς p=f(x) (χωριζομένων μετ), στη συνέχεια υπολογίζω το ολοκλήρωμα u=Sf(x)dx και υπολογίζω το u.
Επομένως μια δεύτερη μερική λύση είναι y2=uy1
Και η γεν. λύση της ομογενούς y = c1y1 + c2y2 με c1,c2 σταθερές.
β) Θα υπολογίσω μια μερική λύση της δ.ε.
ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν και το β μέλος είναι ειδικής μορφής f(x)[Acosωx + Bsinωχ]e^px ΔΕΝ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γνωστό τύπο αφού η δ.ε. ΔΕΝ ΕΧΕΙ σταθερούς συντελεστές.
Επομένως η εύρεση της λύσης πρέπει να γίνει με τη μέθοδο μεταβολής των σταθερών λύνοντας το σύστημα 2x2
c1'(x)y1 + c2'(x)y2 = 0
c1'(x)y1' + c2'(x)y2' = e^2x
Όπου y1,y2 υπολ. στο (α)
Λύνω ως προς c1' και c2' και τα ολοκληρώνω
άρα yμ = c1(x)y1 + c2(x)y2
γ) Γεν. Λύση = γεν. λύση ομογενούς + μερ. λύση πλήρους δ.ε.
Δυσκολία: 4/5
Θέμα ΙΙΙ
α) Θεωρούμε το ομογενές σύστημα για το οποίο βρίσκουμε ιδιοτιμες λ=-2 και λ=2 (διπλή)
Βρίσουμε τα ιδιοδιανύσματα, έστω v1 το διάνυσμα για την ιδιοτιμή -2 και v2 v3 για τη διπλή τιμή 2 (Κοιτάξτε στο βιβλίο για το πως μπορούμε να βρουμε τα ιδιοδιανύσματα διπλής τιμής).
Επομένως η λύση του ομογενούς δ.σ. είναι
y = v1*e^(-2t) + (v1 + v2*t)e^2t
β) Θεωρούμε το πλήρες δ.σ. και παρατηρούμε ότι ο μη ομογενής όρος είναι της ειδικής μορφής [Ανάστροφο:(1 0 1)] * e^-2t με k=-2=απλή ιδιοτιμη οπότε ακολουθούμε τη διαδικασία που δίνεται αναλυτικά στο τυπολόγιο.
γ) Γεν. λύση = άθροισμα γεν. λύσης ομογενούς δ.σ. + άθροισμα μερικής λύσης πλήρους δ.σ.
Δυσκολία 3,5/5
Θέμα IV
Παρατηρούμε ότι το σημείο t0=0 είναι ομαλό σημείο της δ.ε. αφού οι -3t/(1+t^2) και 4/(1+t^2) είναι αναλυτικές στο 0 (αναπτύσονται κατα Taylor στο σημείο αυτό - βλ. Μαθ. Αναλ. 1).
Επομένως η λύση του π.α.τ. θα βρεθεί με τη μέθοδο της δυναμοσειράς.
y= Σ[απο ν=0 μέχρι +οο)αν*x^ν
y= a0 + a1x + a2x^2 + ... + aν*x^ν + ... (1)
όπου ν δείκτης του α και όχι πολλ/μος, απλά δε μπορω να βάλω δείκτη στο post.
επίσης y(0) = α0 και y'(0) = α1 άρα υπολογίζουμε τα α0 και α1.
Τώρα για να προσδιορίσουμε τον αναδρομικό τύπο πρέπει να κάνουμε αντικατάσταση της (1) στη δ.ε. και να βγάλουμε κοινό παράγοντα τα x που ειναι υψωμένα στην ίδια δύναμη δηλ:
(...) + (...)x + (...)x^2 + (...)x^3 + ... + (...)x^ν + ... = 0
ουσιαστικά κάθε όρος είναι = 0, για τον ν-στό όρο = 0 θα βρούμε τον αναδρομικό τύπο με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε κάθε όρο που θέλουμε, επομένως το πρόβλημα έχει λυθεί.
Η λύση είναι y = y= a0 + a1x + a2x^2 + ... όπου τα a0,a1 είναι γνωτά και οι επόμενοι όροι υπολογίζονται απο τον αναδρομικό τύπο.
Δυσκολία: 2,5/5
----------------
Σχόλιο: Γενικά ήταν μέτριας δυσκολίας τα θέματα, πιστεύω πως ένας καλά διαβασμένος και έμπειρος (απο άποψη προσωπικής δουλείας σε ασκήσεις) φοιτητής δε θα έχει πρόβλημα να γράψει γύρω στο 6, ωστόσο οι πράξεις ιδιαίτερα στο 2ο θέμα ήταν ελεινές. Εντύπωση μου έκανε ότι δεν έβαλε μετασχηματισμό Laplace που είναι απο τα πιο σημαντικά κεφάλαια των σ.δ.ε. αφού με αυτόν λύνονται ΠΑΡΑ πολλές δ.ε. (μέχρι και δ.σ.)
-----------------
Καλή επιτυχία