Εργασίες αριθμητική ανάλυση (2008-2009)

[mpak4]

λογικά το μικρότερο βημα σε πετάει πολύ εξω γιατί εχει μεγάλο σφάλμα για το προηγούμενο λογο που είπαμε 2-3 ποστ παραπάνω! μια συνάρτηση για να επιβαιβεώνεις τα αποτελέσματα σου είναι y=e^x +siny (αν την παραγωγίσεις παίρνεις την συνάρτηση που έχουμε)

[luminitsa]

Παιδιά μήπως μπορεί κάποιος να ανεβάσει ότι έγινε στο εργαστήριο?

[cmavr8]

Ανέβασα ένα excel που έδωσε, που περιέχει πολλές μεθόδους..

http://www.deece.gr/joomla/index.php?op ... &Itemid=53

[elef]

Καλησπέρα,
κάποιες απορίες για την 9η εργασία του μαθήματος.

Το 2ο ερώτημα αναφέρει το εξής:
"Να εξετάσετε το ίχνος της λύσης στο χώρο φάσεων."

Γνωρίζει κανείς τι ακριβώς σημαίνει το παραπάνω και πως πρέπει να δουλέψουμε?

Thx!

[macJohn]

Καλησπέρα,
κάποιες απορίες για την 9η εργασία του μαθήματος.

Το 2ο ερώτημα αναφέρει το εξής:
"Να εξετάσετε το ίχνος της λύσης στο χώρο φάσεων."

Γνωρίζει κανείς τι ακριβώς σημαίνει το παραπάνω και πως πρέπει να δουλέψουμε?

Thx!

Πες μας λίγο την εκφώνηση μήπως και μπορέσουμε να σε βοηθήσουμε.

[gatos]

Εργασία: Εργασία του 9ου μαθήματος ακαδημαϊκού έτους 2008-2009

Περιγραφή:

Να μελετηθεί συμεριφορά της εξίσωσης Van der Pol y"-μ(1-y2)y'+y=0 για μ=0,015 y(0)=1, y'(0)=0.

1. Nα μελετηθεί η λύση μέχρι το σημείο x=2,0
2. Να εξετάσετε το ίχνος της λύσης στο χώρο φάσεων.

Ημερομηνία έναρξης:
2008-12-01
Προθεσμία υποβολής:
2008-12-10 (απομένουν 7 ημέρες)
Τύπος εργασίας:
Ατομική

[macJohn]

Για το πρώτο ερώτημα:

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \mu \left(1-y^2 \right)\frac{dy}{dt}-y $$


Άρα είναι μία εξίσωση της μορφής:

$$ \frac{d^2y}{dt^2}=y^{(2)}=f\left( t,y(t),\frac{dy}{dt}\right)$$

με αρχικές συνθήκες τις

$$y(0)=1$$ και $$y^{(1)}(0)=1$$.

Την παραπάνω διαφορική μπορείς να την μετατρέψεις σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρωτου βαθμου, θέτωντας απλά $$\frac{dy}{dt}=x(t)$$.

Έτσι έχεις το εξής σύστημα διαφορικών εξισώσεων:

$$\frac{dy}{dt}=x(t)$$

$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,y(t),x(t) \right)$$

Την κάθε μία εξίσωση τώρα μπορείς να τη λύσεις με όποια από τις μεθόδους προτιμάς.

Προσοχή!!! Την παραπάνω διαδικασία την κάναμε γιατί οι γνωστές μέθοδοι RK, Euler, Taylor λύνουν προβλήματα της μορφής $$\frac{dy}{dt}=f\left( t,y(t) \right)$$
.

Τώρα για το b ερώτημα απλά πρέπει να απεικονήσεις στο επίπεδο τα σημεία $$ \left( y(t_{k}),x(t_{k})\right ) $$ για κάθε τιμή του $$t_{k}=0+k h$$, όπου $$h$$ είναι το βήμα που χρησιμοποιείς, στο διάστημα $$[0,2]$$.

Αυτή πρέπει να είναι μία πρόχειρη λύση.

edit:

http://mathworld.wolfram.com/vanderPolEquation.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator
http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/VanDerPolMod.html

[nuovo]

Van der Pol --> http://www.scholarpedia.org/article/Van_der_Pol_oscillator
Επίσης, το matlab έχει ετοιμα παραδείγματα για την εξίσωση Van der Pol π.χ.--> http://www.mathworks.com/products/matlab/demos.html?file=/products/demos/shipping/matlab/odedemo.html

[arile]

Σας είναι εύκολο παιδιά να το κάνετε πιο λιανά;δηλαδή θέλει μια γραφική παράσταση που στον οριζόντιο άξονα να είναι το y και στον καρακόρυφο το y'?

[cmavr8]

Εμένα η Runge-Kutta και η Milne έχουν μια απόκλιση μεταξύ 0,5 σε αυτό που βρίσκουν, οπότε πρέπει να είμαι ΟΚ.

Η Adams δε δουλεύει γιατί σε μια φάση γίνεται πολύ μικρός ο παρονομαστής με αποτέλεσμα να απειρίζεται (πολύ μεγάλο) το F(x,y) με αποτέλεσμα να είναι λάθος το corrector. Μέχρι εκείνο το ανώμαλο σημείο όμως προσσεγγίζει τιμές παρόμοιες με τις άλλες 2 μεθόδους οπότε δε παίζει να έχω κάνει λάθος στην υλοποίηση... πρέπει να είναι ειδική περίπτωση.

Μπορείς να μας πεις πόσο βγάζεις για x=2?

Γιατί εμένα άλλα μου δίνει η runge-kutta, άλλα η oiler.
(επείτηδες το έγραψα έτσι, χεχε)

[nuovo]

Σας είναι εύκολο παιδιά να το κάνετε πιο λιανά;δηλαδή θέλει μια γραφική παράσταση που στον οριζόντιο άξονα να είναι το y και στον καρακόρυφο το y'?

Ναι

[cmavr8]

macJohn και nuovo, thanks και μπράβο!
(ανοίξτε οργάνωση με το stoko να μπορούμε να σας κάνουμε δωρεές)

[Stokos]

Για το πρώτο ερώτημα:

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \mu \left(1-y^2 \right)\frac{dy}{dt}-y $$


Άρα είναι μία εξίσωση της μορφής:

$$ \frac{d^2y}{dt^2}=y^{(2)}=f\left( t,y(t),\frac{dy}{dt}\right)$$

με αρχικές συνθήκες τις

$$y(0)=1$$ και $$y^{(1)}(0)=1$$.

Την παραπάνω διαφορική μπορείς να την μετατρέψεις σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρωτου βαθμου, θέτωντας απλά $$\frac{dy}{dt}=x(t)$$.

Έτσι έχεις το εξής σύστημα διαφορικών εξισώσεων:

$$\frac{dy}{dt}=x(t)$$

$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,y(t),x(t) \right)$$

Την κάθε μία εξίσωση τώρα μπορείς να τη λύσεις με όποια από τις μεθόδους προτιμάς.

Προσοχή!!! Την παραπάνω διαδικασία την κάναμε γιατί οι γνωστές μέθοδοι RK, Euler, Taylor λύνουν προβλήματα της μορφής $$\frac{dy}{dt}=f\left( t,y(t) \right)$$
.

Τώρα για το b ερώτημα απλά πρέπει να απεικονήσεις στο επίπεδο τα σημεία $$ \left( y(t_{k}),x(t_{k})\right ) $$ για κάθε τιμή του $$t_{k}=0+k h$$, όπου $$h$$ είναι το βήμα που χρησιμοποιείς, στο διάστημα $$[0,2]$$.

Αυτή πρέπει να είναι μία πρόχειρη λύση.

edit:

http://mathworld.wolfram.com/vanderPolEquation.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator
http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/VanDerPolMod.html

Πως μπορώ απο το σύστημα:

$$\frac{dy}{dt}=x(t)$$

$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,y(t),x(t) \right)$$

να καταλήξω σε εξισώσεις της μορφής:

$$\frac{dy}{dt}=f\left( t,y(t) \right)$$

$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,x(t) \right)$$


δηλαδή ουσιαστικά να εκφράσω το χ(t) συναρτήσει του t,y(t) ?

---

Επειδή αυτό μάλλον δε γίνεται, πως μπορώ να χρησιμοποιήσω π.χ. μέθοδο Runge Kutta σε 2D ? (Συγκεκριμένα δε ξέρω πως να βρω τα k1,k2,k3,k4)

[axristos]

αν τη εξίσωση τη λυσουμε χωρις συστημα οπως εχουμε κανει και στην πρωτη εργασια με τις διαφορικες με μεθοδο διακριτικοποιησης π.χ υπαρχει προβλημα?

[Pagouras]

αν τη εξίσωση τη λυσουμε χωρις συστημα οπως εχουμε κανει και στην πρωτη εργασια με τις διαφορικες με μεθοδο διακριτικοποιησης π.χ υπαρχει προβλημα?

Eγω ετσι το εκανα και η γραφικη παρασταση που μου προεκυψε ειναι ιδια (η σχεδον ιδια) με τη γνωστη van Der Poll εξισωση που εχουν τα παρανω links. Τη γραφικη παρασταση ομως
y'=f(y) πως θα τη φτιαξουμε, αφου η προηγουμενη σχεση δεν ειναι συναρτηση (για την ιδια τιμη του y αντιστοιχουν περισσοτερα απο ενα y')