Εργασίες αριθμητική ανάλυση (2008-2009)

[Stokos]

ρε παιδιά στο παραδειγμα 1.2.1.1 η g'(x) και στις 2 περιπτώσεις είναι μεγαλύτερη του 1,και δεν μου φαίνεται λογικό αυτό που λέτε...

Μα το παράδειγμα αυτό αναφέρεται στην επαναληπτική μέθοδο... τι δουλεία έχει η g' που λες?

Τη παράγωγο τη χρησιμοποιείς για τη μέθοδο σταθερού σημείου.

[axristos]

ερωτηση για τη 2η εργασια:για να εφαρμοσω την επαναληπτική μέθοδο g(xn)=h(xn-1) σε ποιες 2 εξισωσεις πρεπει να 'σπασω' την f(x)?στην g(x)=(1/3)x^3+exp(sinx)+2x  και h(x)=1 μηπως?

αν το κανεις αυτο πως θα καταφερεις να λυσεις ως προς χ μετα????

[Joe]

Έχω μία ερώτηση.Στο πρώτο ερώτημα λέει να χρησιμοποιήσουμε την επαναληπτική μέθοδο g(xn)=h(xn-1)...Έστω ότι βρίσκουμε τα κατάλληλα g(xn) και h(xn-1)..και από εκεί βγάζουμε μία σχέση που συνδέει το Χn με το Xn-1....Το λύνουμε ως προς Χn και βγάζουμε μία σχέση που να δίνει το Xn συναρτήσει του Χn-1...Στο δεύτερο ερώτημα,που ζητάει μέθοδο σταθερού σημείου,γιατί να μη χησιμοποιήσουμε την έκφραση που βρήκαμε πιο πάνω? (Χn=F(Xn-1)) Αν το κάνουμε αυτό θα είναι σαν να κάνουμε το ίδιο πράγμα δύο φορές (από ένα σημείο και μετά)... ??? ??? Έχω δίκιο ή άδικο?


Επίσης να πω ότι χρησιμοποιώντας g(x)=2x και h(x) = -(1/3)*x^3 - exp(sinx) +1 ,ενώ στη θεωρία το βγάζω να μη συκλλίνει (για διάστημα (-1,2))  { (lim|h'(x)| με χ-> 2)/(lim|g'(x)| με χ-> -1 ) = 4,999/2 >1 } ενώ στο excel συγκλίνει στο 0 (που είναι και η ρίζα που θέλουμε...)

στη σταθερου σημειου ελυσα απο τον ορο 2χ και μηδενιζεται, βεβαια θελει περιπου 50 επαναληψεις.στο 1 ερςτημα ομως αν παρεισ την μια συναρτηση 1/3χ^3 και την αλλη το υπολοιπο ενω απο το θεωρημα συγκλινει ,στο excel σε διαστημα πχ (-1,2) ταλαντωνεται αναμεσα σε 2 τιμες.το κανε κανεις?

Ταλαντώνει ανάμεσα στο -7 και κάτι και στο +7 και κάτι? Το έκανα και βρήκα κι εγώ το αυτό που λες...Σίγουρα το θεώρημα σύγκλισης είναι σωστό? Γιατί τα βγάζω ανάποδα όπως γράφω και πάνω...Εγώ χρησιμοποίησα αυτό που έχει ο Γεωργίου στο e-learning σε ένα παράδειγμα... (http://appliedmaths.ee.duth.gr/e-learni ... /frame.htm) αλλά τελικά ίσως να μην είναι σωστό...

[Stokos]

αν το κανεις αυτο πως θα καταφερεις να λυσεις ως προς χ μετα????

Όχι δε πρέπει να πάρεις h(x) = 1 γιατί προφανώς θα λύπει το Xn+1 ή το Xn στη σχέση που θα βγάλεις, άρα ουσιαστικά δε θα δουλεύει... Επίσης θα είναι h'(x) = 0 και ο λόγος για να δεις αν η μέθοδος συγκλίνει θα είναι προβληματικός

Έχω μία ερώτηση.Στο πρώτο ερώτημα λέει να χρησιμοποιήσουμε την επαναληπτική μέθοδο g(xn)=h(xn-1)...Έστω ότι βρίσκουμε τα κατάλληλα g(xn) και h(xn-1)..και από εκεί βγάζουμε μία σχέση που συνδέει το Χn με το Xn-1....Το λύνουμε ως προς Χn και βγάζουμε μία σχέση που να δίνει το Xn συναρτήσει του Χn-1...Στο δεύτερο ερώτημα,που ζητάει μέθοδο σταθερού σημείου,γιατί να μη χησιμοποιήσουμε την έκφραση που βρήκαμε πιο πάνω? (Χn=F(Xn-1)) Αν το κάνουμε αυτό θα είναι σαν να κάνουμε το ίδιο πράγμα δύο φορές (από ένα σημείο και μετά)... ??? ??? Έχω δίκιο ή άδικο?


Επίσης να πω ότι χρησιμοποιώντας g(x)=2x και h(x) = -(1/3)*x^3 - exp(sinx) +1 ,ενώ στη θεωρία το βγάζω να μη συκλλίνει (για διάστημα (-1,2))  { (lim|h'(x)| με χ-> 2)/(lim|g'(x)| με χ-> -1 ) = 4,999/2 >1 } ενώ στο excel συγκλίνει στο 0 (που είναι και η ρίζα που θέλουμε...)


Ταλαντώνει ανάμεσα στο -7 και κάτι και στο +7 και κάτι? Το έκανα και βρήκα κι εγώ το αυτό που λες...Σίγουρα το θεώρημα σύγκλισης είναι σωστό? Γιατί τα βγάζω ανάποδα όπως γράφω και πάνω...Εγώ χρησιμοποίησα αυτό που έχει ο Γεωργίου στο e-learning σε ένα παράδειγμα... (http://appliedmaths.ee.duth.gr/e-learni ... /frame.htm) αλλά τελικά ίσως να μην είναι σωστό...

Στο πρώτο ερώτημα:
Η (αναδρομική) συνάρτηση που βρίσκεις στο 1ο ερώτημα ουδεμία σχέση έχει με τη συνάρτηση που βρίσκεις στο 2ο ερώτημα οπότε πως να χρησιμοποιήσεις τη συνάρτηση που βρήκες στο πρώτο ερώτημα και στη μέθοδο σταθερού σημείου?

Στο δεύτερο ερώτημα:
Πρέπει να "ταλαντώνεται" αλλά όχι στο ±7 πρέπει να ταλαντώνεται γύρω από το 0 και το πλάτος της ταλάντωσης να μειώνεται συνέχεια π.χ. 0.5 , -0.4 , 0,25 , -0,05 κοκ.

Το θεώρημα σύγκλισης για σταθ. σημείου είναι το εξής:
1) Λύνεις την f(x) = 0 ως προς ένα x και κατασκευάζεις τη σχέση x=g(x)
2) Αν η dg/dx είναι <1 για κάθε χ στο διάστημα που μελετάς (πρέπει σε αυτό φυσικά να ισχύει το bolzano) τότε η σχέση
Χn = g(Xn-1) συγκλίνει, την εφαρμόζεις με Χο τυχαίο σημείου του διαστήματος που μελετάς και βρίσκεις λύση.

[axristos]

Έχω μία ερώτηση.Στο πρώτο ερώτημα λέει να χρησιμοποιήσουμε την επαναληπτική μέθοδο g(xn)=h(xn-1)...Έστω ότι βρίσκουμε τα κατάλληλα g(xn) και h(xn-1)..και από εκεί βγάζουμε μία σχέση που συνδέει το Χn με το Xn-1....Το λύνουμε ως προς Χn και βγάζουμε μία σχέση που να δίνει το Xn συναρτήσει του Χn-1...Στο δεύτερο ερώτημα,που ζητάει μέθοδο σταθερού σημείου,γιατί να μη χησιμοποιήσουμε την έκφραση που βρήκαμε πιο πάνω? (Χn=F(Xn-1)) Αν το κάνουμε αυτό θα είναι σαν να κάνουμε το ίδιο πράγμα δύο φορές (από ένα σημείο και μετά)... ??? ??? Έχω δίκιο ή άδικο?


Επίσης να πω ότι χρησιμοποιώντας g(x)=2x και h(x) = -(1/3)*x^3 - exp(sinx) +1 ,ενώ στη θεωρία το βγάζω να μη συκλλίνει (για διάστημα (-1,2))  { (lim|h'(x)| με χ-> 2)/(lim|g'(x)| με χ-> -1 ) = 4,999/2 >1 } ενώ στο excel συγκλίνει στο 0 (που είναι και η ρίζα που θέλουμε...)


Ταλαντώνει ανάμεσα στο -7 και κάτι και στο +7 και κάτι? Το έκανα και βρήκα κι εγώ το αυτό που λες...Σίγουρα το θεώρημα σύγκλισης είναι σωστό? Γιατί τα βγάζω ανάποδα όπως γράφω και πάνω...Εγώ χρησιμοποίησα αυτό που έχει ο Γεωργίου στο e-learning σε ένα παράδειγμα... (http://appliedmaths.ee.duth.gr/e-learni ... /frame.htm) αλλά τελικά ίσως να μην είναι σωστό...

εγω παλι εκανα το αναποδο.εβγαλα οτι συγκλινει θεωρητικα αλλα στο excel ταλαντωνει.οι πραξεις δε παιζει να ειναι λαθος.επισης πως γινεται καποιες φορες ενω σε διαστημα (-2,2) να συγκλινει [ στο (-1,1)να μη συγκλινει?παντως το δυσκολο και στις 2 μεθοδους ειναι να βρεισ τη συγκλιση.στου σταθερου σημειου ανλυσεις απο τον ορο 2χ βγαινει η λυση.πως θα απο δειξω ομως οτι συγκλινει?δεν φαινεται ευκολα

[Stokos]

εγω παλι εκανα το αναποδο.εβγαλα οτι συγκλινει θεωρητικα αλλα στο excel ταλαντωνει.οι πραξεις δε παιζει να ειναι λαθος.επισης πως γινεται καποιες φορες ενω σε διαστημα (-2,2) να συγκλινει [ στο (-1,1)να μη συγκλινει?παντως το δυσκολο και στις 2 μεθοδους ειναι να βρεισ τη συγκλιση.στου σταθερου σημειου ανλυσεις απο τον ορο 2χ βγαινει η λυση.πως θα απο δειξω ομως οτι συγκλινει?δεν φαινεται ευκολα

Φίλε μου και εγώ ακριβώς αυτό το πρόβλημα έχω!

Θεωρητικά στο διάστημα (-π,π) συγκλίνει αλλά στο excel δε δίνει λύσει...
Στο (-1,1) υποδιάστημα του (-π,π) αποκλίνει...

Υποψιάζομαι ότι δε γίνεται να εφαρμοσθεί ο πρώτος τρόπος στο πρόβλημα γιατί δοκίμασα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς για να σπάσω την f...

Θα ρωτήσω αύριο τον Γεωργίου στα εργαστήρια...

*Edit: Για αυτό που ρωτάς για τη σύγκλιση κοίτα το προηγούμενο μου ποστ.

[axristos]

ξερω τις συνθηκες συγκλισης.απλα πολλες φορες δεν μπορεισ να πεις ευκολα αν η |g'(x)| ειναι μικροτερη του 1 η οχι στο διαστημα που εξεταζεις.νομιζω πως εχεις ξεχασει το απολυτο

[Stokos]

Εγώ έκανα αυτό κώδικα αυτό σε Matlab

x=-pi:0.01:pi;
y=-(1/2)*(x.^2+cos(x).*exp(sin(x)));
if(all(y<1))
    disp('OK');
else
    disp('Not OK');
end

Μπορείς αν θες να το κάνεις και σε άλλη γλώσσα (όποια ξέρεις): βάζε δηλαδή στη συνάρτηση σου τιμές απο το ένα άκρο μέχρι το άλλο με βήμα 0,01 και με ένα if να ελέγχεις την ανισότητα.

Το απόλυτο ΔΕΝ το βάζεις στη μέθοδο σταθερού σημείου. Σε παραπέμπω στο παράδειγμα 1.2.2.1

[gorgina]

σε καταλαβα axriste!!! 

[James]

σε καταλαβα axriste!!!   :)

ε???

Εγώ έκανα αυτό κώδικα αυτό σε Matlab

x=-pi:0.01:pi;
y=-(1/2)*(x.^2+cos(x).*exp(sin(x)));
if(all(y<1))
    disp('OK');
else
    disp('Not OK');
end

Μπορείς αν θες να το κάνεις και σε άλλη γλώσσα (όποια ξέρεις): βάζε δηλαδή στη συνάρτηση σου τιμές απο το ένα άκρο μέχρι το άλλο με βήμα 0,01 και με ένα if να ελέγχεις την ανισότητα.

Το απόλυτο ΔΕΝ το βάζεις στη μέθοδο σταθερού σημείου. Σε παραπέμπω στο παράδειγμα 1.2.2.1

αν ειναι ετσι απλουστευεται το πραγμα αλλα δε νομιζω.σε παραπεμπω και εγω στο παραδειγμα του παλιου βιβλιου 1.6.1 οπου το χρησιμοποιει.επισης το γραφει και στο βιβλιο του Σιμου οπως ειπε ενας συναδελφος πιο πριν.ισως στο παραδειγμα αυτο να το παραλειπει γιατι προκειται ουτως η αλλως για θετικη συναρτηση

[Stokos]

ναι το έψαξα αρκετά και τελικά ΘΕΛΕΙ απόλυτο. Ο Γεωργίου το παραλείπει (θεωρείται δεδομένο?)...

Προσοχή λοιπόν! Πρέπει | g'(x) | < 1 για να εξασφαλίζεται η σύγκλιση στη μέθοδο σταθερού σημείου.

οπότε τροποποιώ το παραπάνω κώδικα σε all(abs(y<1)).

[maria_z]

παιδια θυματε κανεις πως βρισκουμε αντιστροφη συναρτηση??

Τελικα χρειάζεται η αντίστροφη συνάρτηση για την επαναληπτική μεθοδο(ερωτηση 1 απο εργασια);
Κι αν ναι,πως βρίσκεται;

[Stokos]

y=f(x) και λύνεις ως προς χ=f(y) (με τη προϋπόθεσή ότι η f είναι 1-1).

[cmavr8]

Πού είναι η νέα εργασία? ΟΕΟ?
Θέλουμε να πάμε διακοπές το ΣΚ... ας μας τη δώσει νωρίς.

Μήπως να του πούμε να τις κάνει να λήγουν τετάρτη βράδυ, όπως πέρσι? Γιατί το εργαστήριο που κάνει είναι διαφωτιστικό...

[Stokos]

Εργασία: Εργασία του 3ου μαθήματος ακαδημαϊκού έτους 2008-2009
Περιγραφή:
Να περιγραφούν οι μέθοδοι και να δοθούν παραδείγματα για τον υπολογισμό μιγαδικών ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου του 2ου.

Σχόλια:
Μέθοδοι για την προσέγγιση μιγαδικών ριζών συναρτήσεων με πραγματικούς συντελεστές, υπάρχουν πολλές. Ενδεικτικά αναφέρουμε: - Newton Raphson - Lin - Bairstow - Λόγων και Διαφορών (Bernoulli) - ......... Αναμένεται ότι οι εργασίες θα εκπονηθούν από ομάδες φοιτητών. Η υποβολή θα γίνει από το κάθε μέλος της ομάδας χωριστά, αλλά στον τίτλο θα αναφέρονται οι συνσυγραφείς.
Ημερομηνία έναρξης:
2008-10-22
Προθεσμία υποβολής:
2008-10-27 (απομένουν 5 ημέρες) (Καθυστερεί 2 μέρες να τη βάλει στο e-class και θέλει να είμαστε συνεπείς εμείς στη προθεσμία??)
Τύπος εργασίας:
Ομαδική

-------------------

Μάλιστα, τώρα θα έχουμε και εργασίες πάνω σε πράγματα που ούτε καν αναφέρθηκαν στο μάθημα (κάναμε για γραμμικά συστήματα: Jacobi, Gauss-Siebel, SOR)...