elef έγραψε:Καλησπέρα,
κάποιες απορίες για την 9η εργασία του μαθήματος.
Το 2ο ερώτημα αναφέρει το εξής:
"Να εξετάσετε το ίχνος της λύσης στο χώρο φάσεων."
Γνωρίζει κανείς τι ακριβώς σημαίνει το παραπάνω και πως πρέπει να δουλέψουμε?
Thx!
Stokos έγραψε:Εμένα η Runge-Kutta και η Milne έχουν μια απόκλιση μεταξύ 0,5 σε αυτό που βρίσκουν, οπότε πρέπει να είμαι ΟΚ.
Η Adams δε δουλεύει γιατί σε μια φάση γίνεται πολύ μικρός ο παρονομαστής με αποτέλεσμα να απειρίζεται (πολύ μεγάλο) το F(x,y) με αποτέλεσμα να είναι λάθος το corrector. Μέχρι εκείνο το ανώμαλο σημείο όμως προσσεγγίζει τιμές παρόμοιες με τις άλλες 2 μεθόδους οπότε δε παίζει να έχω κάνει λάθος στην υλοποίηση... πρέπει να είναι ειδική περίπτωση.
arile έγραψε:Σας είναι εύκολο παιδιά να το κάνετε πιο λιανά;δηλαδή θέλει μια γραφική παράσταση που στον οριζόντιο άξονα να είναι το y και στον καρακόρυφο το y'?
macJohn έγραψε:Για το πρώτο ερώτημα:
$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \mu \left(1-y^2 \right)\frac{dy}{dt}-y $$
Άρα είναι μία εξίσωση της μορφής:
$$ \frac{d^2y}{dt^2}=y^{(2)}=f\left( t,y(t),\frac{dy}{dt}\right)$$
με αρχικές συνθήκες τις
$$y(0)=1$$ και $$y^{(1)}(0)=1$$.
Την παραπάνω διαφορική μπορείς να την μετατρέψεις σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρωτου βαθμου, θέτωντας απλά $$\frac{dy}{dt}=x(t)$$.
Έτσι έχεις το εξής σύστημα διαφορικών εξισώσεων:
$$\frac{dy}{dt}=x(t)$$
$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,y(t),x(t) \right)$$
Την κάθε μία εξίσωση τώρα μπορείς να τη λύσεις με όποια από τις μεθόδους προτιμάς.
Προσοχή!!! Την παραπάνω διαδικασία την κάναμε γιατί οι γνωστές μέθοδοι RK, Euler, Taylor λύνουν προβλήματα της μορφής $$\frac{dy}{dt}=f\left( t,y(t) \right)$$
.
Τώρα για το b ερώτημα απλά πρέπει να απεικονήσεις στο επίπεδο τα σημεία $$ \left( y(t_{k}),x(t_{k})\right ) $$ για κάθε τιμή του $$t_{k}=0+k h$$, όπου $$h$$ είναι το βήμα που χρησιμοποιείς, στο διάστημα $$[0,2]$$.
Αυτή πρέπει να είναι μία πρόχειρη λύση.
edit:
http://mathworld.wolfram.com/vanderPolEquation.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator
http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/VanDerPolMod.html
axristos έγραψε:αν τη εξίσωση τη λυσουμε χωρις συστημα οπως εχουμε κανει και στην πρωτη εργασια με τις διαφορικες με μεθοδο διακριτικοποιησης π.χ υπαρχει προβλημα?
Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες