Stokos έγραψε:Πως μπορώ απο το σύστημα:
$$\frac{dy}{dt}=x(t)$$
$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,y(t),x(t) \right)$$
να καταλήξω σε εξισώσεις της μορφής:
$$\frac{dy}{dt}=f\left( t,y(t) \right)$$
$$\frac{dx}{dt}=f\left( t,x(t) \right)$$
δηλαδή ουσιαστικά να εκφράσω το χ(t) συναρτήσει του t,y(t) ?
---
Επειδή αυτό μάλλον δε γίνεται, πως μπορώ να χρησιμοποιήσω π.χ. μέθοδο Runge Kutta σε 2D ? (Συγκεκριμένα δε ξέρω πως να βρω τα k1,k2,k3,k4)
Σορυ στόκος αλλά έκανα ένα λάθος:
οδηγούμαστε σε ένα σύστημα της μορφής:
$$\frac{dy}{dt}=f\left( t,y(t),x(t) \right)$$
$$\frac{dx}{dt}=g\left( t,y(t),x(t) \right)$$
Τώρα μπορεύμε να υποθέσουμε τα εξής:
$$dy=f\left( t,y(t),x(t) \right)dt$$
$$dx=g\left( t,y(t),x(t) \right)dt$$
με $$dx=x_{k+1}-x_k, dy=y_{k+1}-y_k , dt=t_{k+1}-t_k=h,$$ και έτσι προκύπτει η επαναληπτική σου μέθοδος.
ή με RK4
$$x_{k+1}=x_k+\frac{h}{6}\left( g_1+2g_2+2g_3+g_4\right)$$
$$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\left( f_1+2f_2+2f_3+f_4\right)$$
$$f_1=f\left( t_k,x_k,y_k\right)$$
$$f_2=f\left( t_k+\frac{h}{2},x_k+\frac{h}{2}g_1,y_k+\frac{h}{2}f_1\right)$
$$f_3=f\left( t_k+\frac{h}{2},x_k+\frac{h}{2}g_2,y_k+\frac{h}{2}f_2\right)$$
$$f_4=f\left( t_k+h,x_k+hg_3,y_k+hf_3\right)$$
$$ g_1=g\left( t_k,x_k,y_k\right)$$
$$ g_2=g\left( t_k+\frac{h}{2},x_k+\frac{h}{2}g_1,y_k+\frac{h}{2}f_1\right)$$
$$g_3=g\left( t_k+\frac{h}{2},x_k+\frac{h}{2}g_2,y_k+\frac{h}{2}f_2\right)$$
$$g_4=g\left( t_k+h,x_k+hg_3,y_k+hf_3\right)$$
Αν βρέιτε κανένα άλλο λάθος πείτε μου πάλι