Pagouras έγραψε:Stokos έγραψε:Έχεις ένα δευτεροτάξιο κύκλωμα με μηδενικές αρχικές συνθήκες στο οποίο η διέγερση γίνεται μόνο μέσω των ανεξάρτητων πηγών επομένως περιμένεις να βγάλεις μια
μη-ομογενή διαφορική εξίσωση.
Η μη ομογενής διαφορική εξίσωση προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το Ν.Ρ.Κ. ως εξής:
http://img105.imageshack.us/img105/3905/0004ee7.jpg(Φυσικά οι αρχικές συνθήκες αναφέρονται στη "Γενική Λύση της πλήρους δ.ε.")
Αν δε καταλαβαίνεις κάτι πες μου...
Οντως προκυπτει μη ομογενης διαφορικη εξισωση. Και στη συνεχεια για να βγρω τη γενικη λυση, 'παω' με τη λογικη να λυσω την αντιστοιχη ομογενη (ρευμα μεταβατικης καταστασης) και να της προσθεσω μια μερικη λυση (η οποια θα ειναι το ρευμα μονιμης καταστασης δηλ 12/2000=6 mΑ). Αν καταλαβα καλα τις αρχικες συνθηκες πρεπει να τιw χρησιμοποιησω στη γενικη λυση και οχι στην ομογενη οπως εγω δοκιμασα-σωστα??? Εγω τις χρησιμοποιησα στην ομογενη, και μετα το ρευμα μου βγηκε i(t)=6mA t>0, ενω λογικα θα επρεπε να μου βγει
i(t)=6+e^at(k1coswt+k2sinwt) mA ,t>0
Έστω αy'' + by' + cy = d η μη ομογενής διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές
α) Θα λύσεις την αντίστοιχη ομογενή μηδενίζοντας το 2ο μέλος: αy'' + by' + cy = 0
και στη συνέχεια θεωρείς την αντίστοιχη αλγεβρική: αχ² + bχ + c =0
Την οποία μπορείς να λύσεις εύκολα με τη μέθοδο της διακρίνουσας.
Έστω φ και ψ οι ρίζες.
* Αν φ διάφορο του ψ και είναι πραγματικές τότε η γεν. λύση της ομογενούς είναι: $y_o (t)$=K1*exp(φ*t) + K2*exp(ψ*t)
* Aν φ = ψ = s και πραγματικές τότε η γεν. λύση είναι: $y_o (t)$=(K1 + Κ2*t)exp(s*t)
* Αν φ και ψ συζυγείς μιγαδικοί της μορφής α+jβ, τότε ειδικά για τα κυκλώματα που μας ενδιαφέρουν ισχύει: $y_o (t)$=K1*exp(a*t)*cos(b*t + K2)
(Προσοχή το τελευταίο είναι μόνο για τη θεωρία κυκλωμάτων δεν ισχύει γενικά!)
Όπου Κ1 και Κ2 σταθερές τις οποίες τις αφήνουμε προς το παρόν έτσι. Κρατάμε τη γεν. λύση της ομογενούς.
β) Θεωρούμε τη πλήρη Δ.Ε. αy'' + by' + cy = d για την οποία θα βρούμε μια μερική λύση.
Το δεύτερο μέλος της είναι μια σταθερά άρα και η μερική λύση θα είναι μια σταθερά έστω K. Επειδή η μερική λύση πρέπει να επαληθεύει τη Δ.Ε. έχουμε:α*0 + β*0 +c*K = d <=> K = d/c (Παράγωγος σταθεράς = 0).
Βρήκαμε και μια μερ. λύση της δ.ε.
γ) Άρα η γεν. λύση της πλήρους Δ.Ε. αy'' + by' + cy = d αποδεικνύεται ότι είναι: y = ${y_0}$ + K
Tώρα για να λύσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών χρησιμοποιούμε τις συνθήκες για t=0, βέβαια επειδή εδώ έχουμε 1 εξίσωση με 2 αγνώστους θα χρησιμοποιήσουμε και μια άλλη εξίσωση, την οποία όπως γράφω στο παραπάνω post μπορούμε να τη βρούμε εύκολα επειδή ο πυκνωτής είναι // στο πηνίο, άρα έχουν ίδια τάση.
2 εξισώσεις με 2 αγνώστους έκαστος και 2 αρχικές συνθήκες (μια για κάθε εξίσωση) μας οδηγούν σε ένα σύστημα 2χ2 το οποίο επιλύουμε.
Ελπίζω να τα ξεκαθάρισα κάπως στο μυαλό σου...
