Εαν κατάλαβα καλά θέλεις να βρεις τις θέσεις 1,3 και 3,1 του πίνακα αγωγιμοτήτων (G) για να βρεις τις τάσεις των κόμβων.
Ο πίνακας αυτός έχει ώς εξής:
α) Έχεις 3 κόμβους άρα ο πίνακας θα είναι 3χ3
β) Τα στοιχεία της διαγωνίου είναι το άθροισμα των αγωγιμοτήτων που συνδέονται σε αυτές δηλαδή:
G(1,1) = 1/0.1 + 1/0.1 = 20 Siemens
G(2,2) = 1/0.1 + 1/0.2 + 1/0.5 = 17 Siemens
G(3,3) = 1/0.5 + 1/0.2 + 1/0.1 = 17 Siemens
Παρατήρηση: Τα στοιχεία της διαγωνίου είναι ΠΑΝΤΑ θετικά.
γ) Για να βρεις τα υπόλοιπα στοιχεία πέρνεις ΜΕΙΟΝ την αγωγιμότητα μεταξύ i,j δηλαδή:
G(1,2) = - 1/0.1 = -10 Siemens = G(2,1)
G(1,3) = - 1/0.1 = -10 Siemens = G(3,1)
G(2,3) = -1/0.5 = -2 Siemens = G(3,2)
Παρατήρηση: Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία δηλαδή θα είναι ΠΑΝΤΑ αρνητικά. Επίσης ο πίνακας αυτός είναι ΠΑΝΤΑ συμμετρικός ως προς τη διαγώνιό του.
Φτιάξαμε λοιπόν το πίνακα G.
---
Για να λύσουμε την άσκηση θέλουμε και το πίνακα I για τον οποίο εργαζόμαστε ως εξής:
α) Το κύκλωμα έχει 3 κόμβους άρα ο Ι θα είναι ένα διάνυσμα 3 συντεταγμενων (πίνακας στήλη).
β) Όπου Ι(i) βάζεις το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που εισέρχεται στο κόμβο i και οφείλεται MONO στις πηγές.
Δηλαδή θα έχεις:
I(1) = +I1 (+ γιατί εισέρχεται)
Ι(2) = 0 (γιατί κανένα ρεύμα που οφείλεται σε πηγή δεν εισέρχεται/εξέρχεται)
Ι(3) = -Ι2 (γιατί εξέρχεται)
Επομένως βρήκαμε και το πίνακα Ι.
---
Για να βρούμε τις τάσεις V1,V2,V3 θεωρούμε το διάνυσμα (πίνακα στήλη) V με συντεταγμένες V1,V2,V3 και θεωρούμε το σύστημα:
G*V = I (G*V πολλ/μος πινάκων) το οποίο καταλήγει στο γραμμικό σύστημα:
20*V1 -10*V2 -10*V3 = I1
-10*V1 +17*V2 -2*V3 = 0
-10*V1 -2*V2 +17*V3 = -I2
Λύνοντας το σύστημα αυτό μπορείς να βρεις τα V1,V2,V3 (τις τάσεις των κόμβων) συναρτήσει των Ι1,Ι2 (των πηγών ρεύματος).
Ακριβώς στις ίδιες εξισώσεις θα καταλήξεις αν εφαρμόσεις και τη μέθοδο των κόμβων κατά τα γνωστά. Γενικά όμως σε σύνθετα κυκλώματα πολλών κλάδων χρησιμοποιείται ο παραπάνω αλγόριθμος για να διευκολύνει τις πράξεις (καταλήγουμε στο σύστημα ταχύτατα) και να γλιτώσουμε απο το να αναγκαστούμε να θεωρούμε τα ρεύματα των κλάδων αυθαίρετα (ειδικά όταν οι κλάδοι είναι πολλοί). Επίσης απ'όσο ξέρω ο παραπάνω αλγόριθμος χρησιμοποιείται κατά κόρον σε ανάλυση κυκλωμάτων με Η/Υ.
---
Sorry που άργησα να απαντήσω αλλά δε κοιτούσα το forum μέσα στις γιορτές.