Απορία Ηλεκτρικά Κυκλώματα Ι (Υπολογισμός Αγωγιμότητας)

[megatron]

καλησπέρα και πάλι
σ' αυτή την άσκηση προσπάθώ να υπολογίσω την μήτρα αγωγιμότητας G13, γνωρίζοντας ότι η απάντηση είναι -10Ω^-1

[img][IMG]http://www.imageshack.gr/files/lvzb0xt621cwmupbx9h5.gif[/img][/img]

Αρχικά σκέφτηκα ότι αφού τα άκρα 1 και 3 ανήκουν στην R1 άρα μπορώ να υπολογίσω την αγωγιμότητα της R1 για να βρω το G13.
Οπότε G(R1)= 1/R1 = 1/0,1 = 10Ω^-1
σύμφωνα όμως με την απάντηση λύπει το - από τον υπολογισμό μου. Τι να κάνω λοιπόν, σκέφτομαι με κάποιο τρόπο να κάνω απαλοιφή την αντίσταση R4. Αρχίζω από την μετατροπή των πηγών ρεύματος σε τάσης. Η Ι2 γίνεται

[img][IMG]http://www.imageshack.gr/files/54lryv37i5qgiod6kn9g.gif[/img][/img]

από δω και κάτω πως προχωράμε όμως ;; Μου έιπαν για το θεώρημα Kenelly αλλά δεν νομίζω ότι βοηθάει ιδιαίτερα. Μετά από την εφαρμογή του θεωρήματος Kenelly προκύπτει το παρακάτω κύκλωμα στο οποίο πλέον η R2 συγχωνεύεται με την R4.

[img][IMG]http://www.imageshack.gr/files/vbe96hhba7nxjcjg97i6.gif[/img][/img]

Κάτι που νομίζω δεν θέλουμε γιατί η R2 είναι μέρος του στοιχείου αγωγιμότητας (G13) που θέλουμε να υπολογίσουμε ......
ευχαριστώ πολύ

[Stokos]

Εαν κατάλαβα καλά θέλεις να βρεις τις θέσεις 1,3 και 3,1 του πίνακα αγωγιμοτήτων (G) για να βρεις τις τάσεις των κόμβων.

Ο πίνακας αυτός έχει ώς εξής:
α) Έχεις 3 κόμβους άρα ο πίνακας θα είναι 3χ3
β) Τα στοιχεία της διαγωνίου είναι το άθροισμα των αγωγιμοτήτων που συνδέονται σε αυτές δηλαδή:

G(1,1) = 1/0.1 + 1/0.1 = 20 Siemens
G(2,2) = 1/0.1 + 1/0.2 + 1/0.5 = 17 Siemens
G(3,3) = 1/0.5 + 1/0.2 + 1/0.1 = 17 Siemens

Παρατήρηση: Τα στοιχεία της διαγωνίου είναι ΠΑΝΤΑ θετικά.

γ) Για να βρεις τα υπόλοιπα στοιχεία πέρνεις ΜΕΙΟΝ την αγωγιμότητα μεταξύ i,j δηλαδή:

G(1,2) = - 1/0.1 = -10 Siemens = G(2,1)
G(1,3) = - 1/0.1 = -10 Siemens = G(3,1)
G(2,3) = -1/0.5 = -2 Siemens = G(3,2)

Παρατήρηση: Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία δηλαδή θα είναι ΠΑΝΤΑ αρνητικά. Επίσης ο πίνακας αυτός είναι ΠΑΝΤΑ συμμετρικός ως προς τη διαγώνιό του.

Φτιάξαμε λοιπόν το πίνακα G.

---

Για να λύσουμε την άσκηση θέλουμε και το πίνακα I για τον οποίο εργαζόμαστε ως εξής:

α) Το κύκλωμα έχει 3 κόμβους άρα ο Ι θα είναι ένα διάνυσμα 3 συντεταγμενων (πίνακας στήλη).
β) Όπου Ι(i) βάζεις το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που εισέρχεται στο κόμβο i και οφείλεται MONO στις πηγές.
Δηλαδή θα έχεις:

I(1) = +I1 (+ γιατί εισέρχεται)
Ι(2) = 0 (γιατί κανένα ρεύμα που οφείλεται σε πηγή δεν εισέρχεται/εξέρχεται)
Ι(3) = -Ι2 (γιατί εξέρχεται)

Επομένως βρήκαμε και το πίνακα Ι.

---

Για να βρούμε τις τάσεις V1,V2,V3 θεωρούμε το διάνυσμα (πίνακα στήλη) V με συντεταγμένες V1,V2,V3 και θεωρούμε το σύστημα:

G*V = I (G*V πολλ/μος πινάκων) το οποίο καταλήγει στο γραμμικό σύστημα:

20*V1 -10*V2 -10*V3 = I1
-10*V1 +17*V2 -2*V3 = 0
-10*V1 -2*V2 +17*V3 = -I2

Λύνοντας το σύστημα αυτό μπορείς να βρεις τα V1,V2,V3 (τις τάσεις των κόμβων) συναρτήσει των Ι1,Ι2 (των πηγών ρεύματος).

Ακριβώς στις ίδιες εξισώσεις θα καταλήξεις αν εφαρμόσεις και τη μέθοδο των κόμβων κατά τα γνωστά. Γενικά όμως σε σύνθετα κυκλώματα πολλών κλάδων χρησιμοποιείται ο παραπάνω αλγόριθμος για να διευκολύνει τις πράξεις (καταλήγουμε στο σύστημα ταχύτατα) και να γλιτώσουμε απο το να αναγκαστούμε να θεωρούμε τα ρεύματα των κλάδων αυθαίρετα (ειδικά όταν οι κλάδοι είναι πολλοί). Επίσης απ'όσο ξέρω ο παραπάνω αλγόριθμος χρησιμοποιείται κατά κόρον σε ανάλυση κυκλωμάτων με Η/Υ.

---

Sorry που άργησα να απαντήσω αλλά δε κοιτούσα το forum μέσα στις γιορτές.

[dimka]

να σαι καλά αδελφέ δεν το περίμενα να πάρω απάντηση .... !

[dimka]

stokos λες ότι,

α) Έχεις 3 κόμβους άρα ο πίνακας θα είναι 3χ3

δεν είμαι σίγουρος αν σε κατάλαβα τι εννοείς αλλά αν αναφέρεσαι στους κόμβους του κυκλώματος τ΄τοτε νομίζω ότι υπάρχει και 4ος ...

[img][IMG]http://www.imageshack.gr/files/btjlhqv966anoscs58vp.gif[/img][/img]

'Η μήπως εννοείς τους κόμβους για τους οποίους ενδιαφέρομαι να υπολογίσω την αγωγιμότητα ;
ευχαριστώ

[Stokos]

Ο κόμβος 4 είναι γειωμένος άρα η τάση του είναι γνωστή (μηδέν). Το ίδιο συμβαίνει και με το κόμβο δεξιά του 4 ο οποίος είναι βραχυκυκλωμένος με τη γείωση (άρα και αυτός τάση 0). Επίσης ο κόμβος "πάνω" από τη πηγή ρεύματος I2 είναι βραχυκυκλωμένος με το κόμβο 3 επομένως η τάση του θα είναι όση και του 3 (δηλ. V3)

Οι συνολικές άγνωστες κομβικές τάσεις που έχεις λοιπόν είναι 3.