Εκφώνηση: http://img60.imageshack.us/my.php?image=0003cv3.jpg
Θέμα 1: Θέτουμε τη ρίζα και καταλήγουμε σε ρητό ολοκλήρωμα
Θέμα 2: Βγάζουμε κοινό παράγοντα το sinx και παρατηρούμε ότι sinxdx = -dcosx, sin²x = 1 - cos²x, οπότε θέτουμε το cosx. Καταλήγουμε σε ρητό ολοκλήρωμα.
Θέμα 3: Θέτουμε x=t³ και εφαρμόζουμε το τύπο a³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²). Καταλήγουμε σε ρητό ολοκλήρωμα.
Θέμα 4: α) ΠΡΟΣΟΧΗ: Γράφουμε το άθροισμα έτσι ώστε να αρχίζει από ν=0 (n+1)(n+2)/2 ]*x^n
Για την ακτίνα σύγκλισης αρκεί να υπολογίσουμε το όριο (n+2)*(n+3)/((n+1)*(n+2)) που προφανώς είναι 1. Άρα R = 1/1 = 1
Διάστημα σύγκλισης: -1 0, επίσης δείχνουμε ότι είναι φθίνουσα (βρίσκουμε τη παράγωγό της η οποία είναι <0 γ.κ. ν=0,1,2,...). Άρα σύμφωνα με το κριτήριο Leibniz συγκλίνει.
γ) Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα της 1/(1+χ) που δίνεται και ολοκληρώνουμε 1 φορά.