paul21 έγραψε:Παραθετω την ασκηση , οπως ακριβως ειναι :"Υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Z της συνάρτησης: F(z)=(z-1)/(z^2+9) . Η απάντηση να μην
περιέχει μιγαδικούς αριθμούς.
..Ο καθηγητης δε μας εχει κανει στο μαθημα καποιο παραδειγμα τετοιου τυπου ....και δυσκολευομαι να τη βγαλω την ασκηση!
Λοιπόν οι ρίζες του παρονομαστή είναι οι $$z_1=3i$$ και $$z_2=-3i$$.
Άρα θα σπάσεις την συνάρτηση ως εξής:
$$F(z)=A\frac{z}{z+3i}+B\frac{z}{z-3i}$$
Από τη λύση του συστήματος ποτ θα βγάλεις προκύπτει πως:
$$A=\frac{1+3i}{18}, B=\frac{1-3i}{18}$$
Επομένως
$$F(z)=\frac{z-1}{z^2+9}=\frac{1+3i}{18}\frac{z}{z+3i}+\frac{1-3i}{18}\frac{z}{z-3i}=$$
$$=\frac{1}{18}\left[ \frac{z}{z+3i} + \frac{z}{z-3i} + 3i\left( \frac{z}{z+3i} - \frac{z}{z-3i} \right) \right]$$
Τώρα οι αντίστροφοι Μ/Σ Z είναι:
$$\frac{z}{z-3i}$$ $$\leftrightarrow$$ $$(3i)^n}$$ και
$$\frac{z}{z+3i}$$ $$\leftrightarrow$$ $$(-3i)^n}$$.
$$(3i)^n=3^{n}i^n=3^{n}\left (e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{n}=3^{n}e^{i\frac{n\pi}{2}}$$
Όμοια
$$(-3i)^n}=3^{n}(-i)^n=3^{n}\left (e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{n}=3^{n}e^{-i\frac{n\pi}{2}}$$
Επομένως παίρνοντας τον αντίστροφο Μ/Σ Ζ της F(z):
$$f[n]=\frac{1}{18}\left[ (3i)^n + (-3i)^n + 3i\left[ (3i)^n - (-3i)^n \right] \right]$$
$$=\frac{1}{9}\left[ 3^{n}\left( \frac{e^{i\frac{n\pi}{2}} + e^{-i\frac{n\pi}{2}}}{2} \right) - 3^n3\left( \frac{e^{i\frac{n\pi}{2}} - e^{-i\frac{n\pi}{2}}}{2i} \right) \right]$$
$$=\frac{3^n}{9}\left( \cos \frac{n\pi}{2} - 3 \sin \frac{n\pi}{2} \right)= 3^{n-2}\left( \cos \frac{n\pi}{2} - 3 \sin \frac{n\pi}{2} \right)$$
Για οποιοδήποτε λάθος δείτε πείτε μου.