Vassia έγραψε:Στα θέματα που ανέβασε παραπάνω ο megatron, μήπως υπάρχει κάποιος που έχει λύσει από το θέμα Ι το β ερώτημα και μπορεί να βοηθήσει?
η απάντηση προκύπτει λογικά(?) από το ερώτημα α
θέλω σειρά ημιτόνων για την f(x)=cosx στο διάστημα [0,π]
οπότε χρησιμοποιώ τους τύπους σελίδα 135 του βιβλίου
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sinnx
b_{n}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }f(x)sinnxdx$
για τον υπολογισμό του b_n βρίσκουμε το ολοκλήρωμα
$b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cosx sin(nx) dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}[sin(nx+x)+sin(nx-x)]dx$
μετά από πράξεις προκύπτει ότι
$b_{n}=-\frac{2n[(-1)^{n-1}-1]}{\pi (n^{2}-1)}$
που είναι 0 για n = περιττός ενώ για n = άρτιο =2k έχουμε
$b_{n}=\frac{4(2k)}{\pi ((2k))^{2}-1)}$
με κ = 1,2,3,....
οπότε
$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{4(2k)}{\pi ((2k))^{2}-1)}sin(2kx)$
ή
$f(x)=\frac{8}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{4k^{2}-1}sin(2kx)$
τώρα για το ερώτημα β
προσωπικά κολλάω στο σημείο αυτό
για χ = π γίνεται
$f(\pi )=\frac{8}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{4k^{2}-1}sin(2k\pi )=0$
μια άλλη ιδέα ήταν να παραγωγίσω τη σχέση μου από το ερώτημα α αλλά και πάλι δεν κατέληξα στον τύπο που μου δίνει
${f(x)}'=\frac{8}{\pi }\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{4k^{2}-1}2kcos(2kx)$
να θέσω στη συνέχεια χ = π/2 αλλά τίποτα
(ισχύει ότι cos(nπ) = (-1)^n αλλά δεν μπόρεσα να το χρησιμοποιήσω)
καμιά ιδέα??
Some people want it to happen, some wish it would happen, and others make it happen - Michael Jordan