Εργασίες αριθμητική ανάλυση (2008-2009)

[Joe]

το είπα επειδή για τη τριγωνομετρική (π.χ. f(x)=sinx) γιατί:

1) Είναι εύκολο να αιτιολογήσεις γιατί επέλεξες τη μέθοδο bolzano αφού με τη regula falsi ή newton είναι δυνατόν να γίνει διαίρεση με 0 ή υπερπήδηση ρίζας. (Mας έδειξε τα σχήματα στο μάθημα).

Στη μέθοδο regula falsi δεν είναι δυνατό να γίνει διαίρεση με το μηδέν.Για να γίνει κάτι τέτοιο πρέπει F(a) - F(b) = 0 που σημαίνει ότι F(a) = F(b) ,και εφόσον δεν υπάρχει περίπτωση υπερπήδησης ρίζας (αυτό γίνεται μόνο στις μεθόδους Διατομής και Newton-Raphson) ,δε γίνεται να γίνουν ίσα αφού πριν γίνουν ίσα θα έχουμε βρει τη ρίζα (δε γίνεται να είναι F(a) και F(b) ομόσημα και εμείς να ψάχνουμε ακόμα για ρίζα...)

[Stokos]

Στη μέθοδο regula falsi δεν είναι δυνατό να γίνει διαίρεση με το μηδέν.Για να γίνει κάτι τέτοιο πρέπει F(a) - F(b) = 0 που σημαίνει ότι F(a) = F(b) ,και εφόσον δεν υπάρχει περίπτωση υπερπήδησης ρίζας (αυτό γίνεται μόνο στις μεθόδους Διατομής και Newton-Raphson) ,δε γίνεται να γίνουν ίσα αφού πριν γίνουν ίσα θα έχουμε βρει τη ρίζα (δε γίνεται να είναι F(a) και F(b) ομόσημα και εμείς να ψάχνουμε ακόμα για ρίζα...)

το είπα επειδή για τη τριγωνομετρική (π.χ. f(x)=sinx) γιατί:

1) Είναι εύκολο να αιτιολογήσεις γιατί επέλεξες τη μέθοδο bolzano αφού με τη (regula falsi) τέμνουσας ή newton είναι δυνατόν να γίνει διαίρεση με 0 ή υπερπήδηση ρίζας. (Mας έδειξε τα σχήματα στο μάθημα).
2) Είναι εύκολο να επαληθεύσεις τις προσεγγίσεις που θα βγάλεις αφού οι ρίζες βρίσκονται εύκολα αλγεβρικά
3) Η bolzano είναι η πιο ευκολη στην υλοποίηση

Διόρθωση: τη μέθοδο της διατομής/τέμνουσας εννοούσα όχι τη regula falsi, εξάλλου ο αλγόριθμος της regula falsi είναι ακριβώς όπως του bolzano με τη διαφορά ότι αντί για το μέσο πέρνεις τον αρμονικό μέσο, οπότε φυσικά αν μπορείς να εφαρμόσεις bolzano μπορείς να εφαρμόσεις και regula falsi. (Aν δεν υπάρχει φόβος για υπερπήδηση ρίζας ή διαίρεσή με 0 στο bolzano, που δεν υπάρχει, δεν υπάρχει ούτε και στη regula falsi).

Να υπενθυμίσω ότι προτιμάμε τη μέθοδο regula falsi έναντι της μεθόδου bolzano όταν η ρίζα βρίσκεται κοντά* στα άκρα του αρχικού υποδιαστήματος που διαλέξαμε (με τη προϋπόθεσή τα f των άκρων να είναι ετερόσημα), έτσι θα χρειαστούμε λιγότερα loops από το bolzano.

* Το "κοντά" βέβαια είναι σχετικό με το μέγεθος του διαστήματος και με το πόσο ακριβείς θέλουμε να είμαστε.

[Joe]

Ναι,τώρα τα λες σωστά...
Αυτό πάντως πρέπει να ισχύει γενικά (ότι η regula falsi είναι ταχύτερη και η bolzano σαν γραμμή pstn... ) Τις εφάρμοσα σε ημιπερίοδο ημιτονοειδούς συνάρτησης όπου η ρίζα είναι στο μέσο και είναι αρκετά πιο γρήγορη...

[Stathmarxis]

Η regula falsi έχει συνήθως σημαντικά ταχύτερη σύγκλιση από την Bolzano, όμως σε ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (έχει ένα γραφικό παράδειγμα στο βιβλίο μας) αργεί περισσότερο. Έτσι, δεν υπάρχει εγγύηση στην ταχύτητα, παρά μόνον πως (ασυμπτωτικά έστω) θα συγκλίνει σίγουρα.
Η Bolzano από την άλλη, έχει το πλεονέκτημα της σταθερής ταχύτητας σύγκλισης: μπορείς να προβλέψεις ακόμη και την ακρίβεια με την οποία θα προσεγγίσεις τη ρίζα σε n βήματα (υπάρχει σχετικός τύπος, πρέπει να είναι περίπου 2^(-n)).

[gorgina]

Η συνάρτηση που έχω επιλέξει προς επίλυση είναι πολυωνυμική  τρίτου βαθμού.Πως ακριβώς μπορώ να δικαιολογήσω την επιλογή της?Το ότι ανηκει στις κατηγορίες των εξισώσεων που δεν μπορούν να λυθούν ακριβώς ,αλλά μόνο προσεγγιστικά ,με τις μεθόδους που αναφέρθηκαν στο μάθημα αρκει σαν αιτιολόγηση?

[patirgerasimos]

παρε μια υπερβατική καλύτερα.. αυτες δε λύνονται..

[gorgina]

Tην ελυσα και με τις 4 μεθοδους και κατεληξα σε λυση.Είναι πολύ ζόρι να ξανακάνω όλη τη διαδικασία.Απλά δεν ξέρω αν η αιτιλόγηση αρκεί.

[Stokos]

Η συνάρτηση που έχω επιλέξει προς επίλυση είναι πολυωνυμική  τρίτου βαθμού.Πως ακριβώς μπορώ να δικαιολογήσω την επιλογή της?Το ότι ανηκει στις κατηγορίες των εξισώσεων που δεν μπορούν να λυθούν ακριβώς,αλλά μόνο προσεγγιστικά ,με τις μεθόδους που αναφέρθηκαν στο μάθημα αρκει σαν αιτιολόγηση?

Η πολυωνυμική 3ου βαθμού λύνεται αλγεβρικά (δηλ. χωρίς προσεγγιστική μέθοδο της ανάλυσης) σχετικά εύκολα χρησιμοποιώντας το εξής τέχνασμα: οι ρίζες της είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.

π.χ. χ³ - 5χ² + 8χ - 4 = 0
Διαιρέτες 4 = ±1,±2,±4
Δοκιμάζουμε όλους τους διαιρέτες και βρίσκουμε ότι οι λύσεις είναι χ1=1, χ2=2
επομένως χ³ - 5χ² + 8χ - 4 = (χ-χ1)(χ-χ2)(χ-χ3) <=> χ³ - 5χ² + 8χ - 4 = (χ-1)(χ-2)(χ-χ3) <=> χ3 = 2 (άρα το 2 είναι διπλή).

Προτείνω λοιπόν να πάρεις πολυωνυμική μεγαλύτερου βαθμού οι οποίες όντως λύνονται δύσκολα αλγεβρικά αλλά μπορεί να προσεγγιστεί τιμή με τις μεθόδους που μάθαμε 

---

παρε μια υπερβατική καλύτερα.. αυτες δε λύνονται..

Υπερβατική συνάρτηση είναι μια μη-αλγεβρική συνάρτηση. Αλγεβρική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που περιέχει τις πράξεις +,-,*,/,ύψωση σε δύναμη και νιοστή ρίζα.

Επομένως μια υπερβατική συνάρτηση μπορεί να είναι π.χ. η: f(x) = 25*sin(x + 3π/4) ή f(x) = 2^x
Σου φαίνεται να μη λύνονται αυτές?  Πάντως σε ένα μεγάλο σύνολό τους οι υπερβατικές συναρτήσεις είναι δύσκολες ως προς την επίλυση χωρίς κάποια προσεγγιστική μέθοδο...

Για περισσότερα εδώ:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_function
http://webgraphing.com/transcendentaltricksoftrade.jsp

[patirgerasimos]

αν δεν λυνοταν δεν ειχε νοημα να κανεις αριθμητικη μεθοδο ε?

επισης το οτι λυνεται με το χερι δεν σημαινει οτι δεν μπορεις να τη χρησιμοποιησεις..ασε που ανεφερες απλες περιπτωσεις (το διορθωσες ομως..).

Εγω προτεινα αυτη τη κατηγορια συναρτησεων γιατι την ειχε βαλει κ περυσι κ μια συναρτηση τετοιας μορφης ποιο συνθετης απο αυτες που παρεθεσες ειναι καλη για να δουλεψεις. γιατι ανακατευει τριγωνομετρικες κ εκθετικες κ μπορεις να δεις τι παιζει στις μεθοδους με τη συγκλιση κτλ...

[gorgina]

oκ θα το ψάξω,ευχαριστω πολυ!

[maria_z]

Ξερει μήπως κανεις αν ο Γεωργίου θέλει και το αντίστοιχο φύλλο του excel???
Η μονο το word?

[Stathmarxis]

Η πολυωνυμική 3ου βαθμού λύνεται αλγεβρικά (δηλ. χωρίς προσεγγιστική μέθοδο της ανάλυσης) σχετικά εύκολα χρησιμοποιώντας το εξής τέχνασμα: οι ρίζες της είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.

Οι ρίζες της τρίτου βαθμού πολυωνυμικής είναι διαιρέτες του σταθερού όρου, μόνο αν αυτές είναι ακέραιες. Αποδεικνύεται δηλαδή πως αν είναι ακέραιες, διαιρούν τον σταθερό όρο. Μπορεί κάλιστα να μην έχει καμία ακέραια ρίζα, όμως σίγουρα έχει από μία έως τρεις ρίζες (στο σύνολο των πραγματικών) και λύνεται αναλυτικά (υπάρχουν τύποι για μέχρι 3ου βαθμού).
Συμφωνώ λοιπόν πως δεν είναι από τις άλυτες, όμως δεν ισχύει πάντα το κόλπο με τις πιθανές ακέραιες ρίζες.

[mpougatsas]

Ξερει μήπως κανεις αν ο Γεωργίου θέλει και το αντίστοιχο φύλλο του excel???
Η μονο το word?

Πιστεύω να αρκεί η παράθεση των εντολών, είτε σε excel, είτε σε matlab, με το αντίστοιχο αποτέλεσμα που δίνει... Βέβαια μπορούμε κάλλιστα να στείλουμε ένα rar που να τα περιέχει όλα...

[patirgerasimos]

οχι βεβαια θα του στειλετε κ ενα αρχειο word που θα του περιγραφετε τι κανατε... εκτος βεβαια κ αν τα γραψετε ολα στο excel. Παντως μην κανετε copy paste  το excel στο word..θελει να δει πως το κανατε

[maria_z]

Μαλιστα,άρα η καλύτερη λύση ειναι και τα δύο αποτι καταλαβαινω.Thank youuu