Ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου

[dimka]

Στους υπολογισμούς της 6.1 έχουμε ότι ….




Μπορούμε να δούμε πως γίνεται η απόδειξη ; ; ; ; ;

Αντικαθιστάς το ds σε σφαιρικές συντεταγμένες (σελ. 1.3) και παίρνεις όρια έτσι ώστε να καλυφθεί όλη η σφαίρα δηλ. θ από 0->π και φ από 0->2π.

όταν γράφεις σελ. 1.3 εννοείς κάποιο βιβλίο ;
ευχαριστώ
ΥΓ. αν υπάρχει και σε ηλεκτρονική μορφή θα ήταν πολύ καλό ! (για το βιβλίο του Griffiths δεν έχω πάρει ακόμα)

[Stokos]

Στις δικές μου σημειώσεις...

[dimka]

Πολύ χρήσιμες οι σημειώσεις Stokos ...!
Τώρα έχω ένα κύλινδρο απείρου μήκους και ακτίνας α του οποίου υπολογίζω την ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου σε τυχαίο σημείο r από το κέντρο.



Αυτό που με δυσκολεύει είναι τα όρια όταν ολοκληρώνω το dz αφού είναι -00 ... +00
Αρχίζουμε με Gauss από διαφάνεια 6.1 και αντικαθιστάμε το ds. Επειδή έχουμε κυλινδρικές συντεταγμένες το ds από 1.3 θα είναι ds = r*dφ*dz.
Επειδή ο κύλινδρος είναι απείρου μήκους τα όρια του z είναι -00 ... +00, εν ολίγοις έχουμε



πως προχωράμε ; Βασικά το -00 .. +00 ολοκλήρωμα δείνει z ;;;

[Stokos]

Πολύ χρήσιμες οι σημειώσεις Stokos ...!
Τώρα έχω ένα κύλινδρο απείρου μήκους και ακτίνας α του οποίου υπολογίζω την ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου σε τυχαίο σημείο r από το κέντρο.



Αυτό που με δυσκολεύει είναι τα όρια όταν ολοκληρώνω το dz αφού είναι -00 ... +00
Αρχίζουμε με Gauss από διαφάνεια 6.1 και αντικαθιστάμε το ds. Επειδή έχουμε κυλινδρικές συντεταγμένες το ds από 1.3 θα είναι ds = r*dφ*dz.
Επειδή ο κύλινδρος είναι απείρου μήκους τα όρια του z είναι -00 ... +00, εν ολίγοις έχουμε



πως προχωράμε ; Βασικά το -00 .. +00 ολοκλήρωμα δείνει z ;;;

Το σύρμα/κύλινδρος είναι απείρου μήκος αλλά είναι παντού ο ίδιος, δηλ. το πεδίο στο χώρο θα είναι ομοιογενές παντού. Αυτό σημαίνει ότι αν βρεις το πεδίο σε μια περιοχή τότε μπορείς να το επεκτείνεις σε όλο χώρο. Αυτό λοιπόν που θα κάνεις είναι να χρησιμοποιήσεις κύλινδρο πεπερασμένου μήκος (0 έως l).

Αφού εκτελέσεις τις πράξεις δηλαδή υπολογίσεις το ολοκλήρωμα με αυτά τα όρια και βρεις το φορτίο που περικλείεται από 0 έως l και τα αντικαταστήσεις στο τύπο του Gauss τότε θα παρατηρήσεις ότι το l απλοποιείται (Αν δεν απλοποιείται έχεις κάνει λάθος), πράγμα που σημαίνει ότι το πεδίο θα είναι ανεξάρτητο από το (αυθαίρετο) μήκος του κυλίνδρου που θεώρησες. Το πεδίο πρέπει να σου βγει ότι εξαρτάται μόνο από την απόσταση από το σύρμα.

Αν τώρα έχεις σύρμα το οποίο είναι παχύ και όχι μόνο μια γραμμή πρέπει να κάνεις αυτή τη διαδικασία 2 φορές. Μια φορά θεωρώντας το κύλινδρο μέσα στο σύρμα για να βρεις το πεδίο στο εσωτερικό του και μια φορά έξω από αυτό.

[dimka]

Υπολόγισα την ένταση του πεδίου και πράγματι είναι ανεξάρτητη του l - μήκος κυλίνδρου. Ωστόσο όμως κάπου έχει γίνει λάθος υπολογισμός ... Το σχήμα με άξονες είναι αυτό


Από Gauss έχουμε


τελικά παίρνουμε ότι


Αλλά το σωστό αποτέλεσμα είναι

[Stokos]

Προσοχή!!! Στο τύπο του Gauss βάζεις στο Q το περικλειόμενο φορτίο από την επιφάνεια Gauss! Δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση θεώρησες το κύλινδρο Gauss με ακτίνα r μικρότερη από α, την ακτίνα του απείρου κυλίνδρου. Για να βρεις το φορτίο που περικλείεται στην επιφάνεια Gauss θα πρέπει να ολοκληρώσεις από 0 έως r λοιπόν, άρα θα σου βγει ακριβώς αυτό που θες. Βρήκες λοιπόν το πεδίο στο εσωτερικό του κυλίνδρου...

Μετά για να βρεις το πεδίο στο εξωτερικό θεωρείς κύλινδρο με ακτίνα r>a. Το ολοκλήρωμα θα είναι και πάλι το ίδιο (E2πrl) αλλά το φορτίο που περικλείεται θα είναι αυτό σε όλο το κύλινδρο ακτίνας α αφού από α μέχρι r είναι κενό. Θα ολοκληρώσεις λοιπόν το r από 0 έως α και θα βρεις αυτό που βρήκες. Πράγμα λογικό γιατί όσο απομακρύνεσαι από το "άπειρο σύρμα" το πεδίο του μειώνεται με ρυθμό 1/r.

Στο παρακάτω σχήμα το πορτοκαλί είναι το περικλειόμενο φορτίο στην επιφάνεια gauss...

(Ελπίζω να μη σε μπερδεύει το σχήμα ότι στη δεύτερη περίπτωση τα όρια ολοκλήρωσης είναι: z: 0 έως l, φ: 0 έως 2π και r: 0 έως α... απλά είναι λίγο δύσκολο να το σχεδιάσω με το MS Paint )

[dimka]

εντάξει το υπολόγησα , ευχαριστώ stokos και το σχήμα μια χαρά είναι !